© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.

       
    Begin met ABCD
Teken dan DEC (ED = 2)
EC omcirkelen en snijden met het verlengde van DC geeft CE
EF = 2, dus is vlak CEFB te tekenen.
DEFA tekenen (ED = EF = 2)
FA omcirkelen en snijden met het verlengde van DA geeft AFB (hoek BAF is 90º, je kunt ook BF omcirkelen)
       
  b.

       
    Begin met driehoek ADC
DEGC is te tekenen want DE = EG = 2
DEFA is te tekenen want DE = EF = 2
EFG is te tekenen want  EG = EF = 2
Teken eerst punt H door AC te omcirkelen om A en ook om C (driehoek AHC is gelijkzijdig)
Dan vind je F em G door AF en CG te omcirkelen om respectievelijk A en C.
       
2a.

       
  Begin met vierkant ABCD  (hier is gekozen voor zijden van 2 cm)
Omcirkel AB om A en om B (grijze cirkelboogjes), dat geeft punt E en een gelijkzijdige driehoek ABE.
Op dezelfde manier vind je de punten F, G en H
Omcirkel AF om A en op F (oranje cirkelboogjes) dat geeft I. Omdat FI verticaal is had je ook gewoon FI 2 cm vanaf F evenwijdig aan DA kunnen tekenen. (Ga na dat dat klopt als je weet dat alle hoeken van de driehoeken 60º zijn)
Op die manier zijn J, K en L getekend.
Teken tenslotte een vierkant aan één van de nieuwe zijden (hierboven aan FI)
       
2b.

       
  Teken eerst de rode strook in het midden van 8 vierkanten.
Daaraan komt aan de zijkant om en om aan beide kanten een vierkant of een driehoek
Die driehoeken kun je weer tekenen door twee zijden te omcirkelen, zoals bovenaan rechts is aangegeven.
Teken tenslotte ergens aan een geel en grijs vierkant er nog eentje.
       
3.

       
  Begin met het bodemvierkant (1)
Teken daaraan 4 gelijkzijdige driehoeken (via omcirkelen van een zijde) dat is (2)
Teken daaraan weer 4 vierkanten (3)
Dan daaraan weer 4 gelijkzijdige driehoeken (4)
Tenslotte het bovenvierkant (5)
       
4.

       
  ABCD en AEHD en  AEMB en BMNC en HNE zijn makkelijk te tekenen. (de grijze lijnen zijn hulplijnen)
Dan moeten de driehoeken EMN en CNH nog......

Teken (links) GM even lang als GN, dan is de lengte van MN te omcirkelen rond N
EM = EN dus kun je EN omcirkelen rond E
Het snijpunt van die twee cirkels geeft M en driehoek EMN

Teken (rechtsboven) GH = CG, dan is de lengte van CH te omcirkelen rond C
NH = NC dus die kun je omcirkelen rond N (oranje boogje)
Het snijpunt geeft H  en driehoek CNH
       
5.

       
  Teken eerst de vlakken 1, 2 en 3 door van drie vierkanten van een kubus schuine zijden af te snijden.
Teken daarna de driehoeken BKL, MND en EIJ daaraan vast.
       
6.
       
  De goede is D.
       
7. a. Twee grijze lijnen van T loodrecht op AD en AB snijden elkaar in T' (de plaats van de top boven het grondvlak)
 

trek twee blauwe lijnen van T'  loodrecht op DC en op CB
omcirkel TD rond D en snij dat met de blauwe lijn (oranje).
omcirkel BT om B en snij dat met de andere blauwe lijn (groen).

Dat geeft twee plaatsen van de top, een daarmee de hele uitslag.

       
  b. Twee grijze lijnen van T loodrecht op AD en BC snijden elkaar in T' (de plaats van de top boven het grondvlak)
 

trek twee blauwe lijnen van T'  loodrecht op DC en op AB
omcirkel TD rond D en snij dat met de blauwe lijn (groen).
omcirkel BT om B en snij dat met de andere blauwe lijn (oranje).

Dat geeft twee plaatsen van de top, een daarmee de hele uitslag. 

       
  c. Twee grijze lijnen van T loodrecht op AB en BC snijden elkaar in T' (de plaats van de top boven het grondvlak)
 

trek drie blauwe lijnen van T'  loodrecht op AE, ED en DC.

omcirkel AT rond A en snij dat met de blauwe lijn (groen).
omcirkel CT om C en snij dat met de blauwe lijn (paars).
omcirkel ET om E en snij dat met de blauwe lijn (oranje)

Dat geeft drie plaatsen van de top, een daarmee de hele uitslag.

 

       
8. a. zie hiernaast.

PQ2 = (8 + 4)2 + (8 + 2)2 = 244
PQ = √244
       
  b. zie hiernaast.

Omdat Q het midden van RTB is, is RB = 2

QR2 = 42 - 22 = 12  dus  QR = √12

PQ2 = 62 + (8 + √12)2
PQ2 = 36 + 64 + 16√12 + 12
PQ2 = 112 + 16√12
PQ = √(112 + 16√12) ≈ 12,94

       
  c.

       
    AFE en EHQ zijn dezelfde driehoeken met hoeken 30º - 60º - 90º
Daarom is EF = EH = 3
AF2 = 62 - 32  dus  AF = √27 = QH
PG = 9 + √27
QG = 3 + √27
PQ2 = (9 + √27)2 + (3 + √27)2
PQ2 = 81 + 18√27 + 27 + 9 + 6√27 + 27 = 144 + 24√27
PQ = √(144 + 24√27) ≈ 16,4
       
9. a.

       
    De kegelmantel is een rechthoek met hoogte 12 en breedte 2 • π • 5 = 10π
PQ2 = 122 + (10π)2
PQ = √(144 + 100π2)  ≈ 33,63
       
  b.

       
    PQ2 = 122 + (20π)2
PQ = √(144 + 400π2)  ≈ 63,97
       
10.

       
  Zie de figuur linksboven.
AC2 = 102 + 102 = 200  dus  AC = √200 = 10√2
Dan is MB = 5√2
TB2 = 102 + (5√2)2 = 150  dus  TB = √150

Zie de uitslag rechtsboven.
De figuur is symmetrisch dus AC staat loodrecht op TB.
De oppervlakte van driehoek ABT is dan  0,5 • TB • AP = AP • 0,5√150

TN2 = 150 - 52 = 125 dus  TN = √125
De oppervlakte van driehoek ABT is dan gelijk aan  0,5 • AB • TN = 5√125

Dus moet gelden  5√125 = AP • 0,5√150
AP = 5√125/0,5√150 ≈ 9,13
AC = 2 • 9,13 = 18,26

De omtrek is dan ongeveer 18,26 + AC = 32,40
       
11.

       
  AB2 = 62 + 82  geeft  dat  AB = 10
De uitslag is dus een deel van een cirkel met straal 10.
De grondcirkel van de kegel heeft straal 6 en omtrek 12π. Dat is de groene rand in de uitslag.
De omtrek van de hele cirkel van de uitslag is 2 • π • 10
Dus het deel dat voor de kegel wordt gebruikt is  12/20 deel, en heeft dus een hoek in het midden van 12/20 • 360 = 216º

Q ligt precies tegenover P dus halverwege de groene rand, dus hoek QBP is 108º
Teken de loodlijn BR van B op PQ.
Dan geldt in driehoek BQR:  sin54º = QR/10  dus  QR = 10 • sin54º = 8,09
Dan is PQ = 2 • 8,09 = 16,18  (of onafgerond;  20sin54º)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)