h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.

       
  a. 8;  van P naar V is 2 naar voren  
  b. 4;  van P naar V is 1 naar links  
  c. '0; P ligt in vlak V  
  d. 8; van P naar V is 2 omlaag  
  e. 12;  van P naar V is 3 naar rechts  
  f. 4√2;  van P naar V is de diagonaal van een vierkant vlak  
       
2. a. PM staat loodrecht op V

De afstand van P tot V is PS en is hetzelfde als de lengte van FN (N midden van EB)
 

Die is gelijk aan 1/2EB = 1/2 6√2 = 3√2

       
  b.

       
    TP2 = 22 + 42 = 20  dus  TP = √20
De gezochte afstand is PQ (PQ loodrecht op TM)
driehoek PQM is gelijkvormig met TNM (rechterfiguur)
PQ/PM = TN/TM
PQ/4 = 4/√20
PQ = 16/√20 = 3,58
       
  c. Teken in lijn in het bovenvlak van P naar Q (midden van HG), dan staat die loodrecht op het vlak.
De gezochte afstand is PS.

PS = 1/2PQ en PQ = √(42 + 42) = 4√2

Dus PS = 2√2
       
  d.

       
    Verleng de rand van het dak en trek een lijn PC van P loodrecht naar die rand.
De gezochte afstand is PC. Zie de rechterfiguur (zijaanzicht)
TEN is gelijkvormig met TBM en met PBC
BM/TM = EN/TN   dus  BM/15 = 4/3  geeft  BM = 15 4/3 = 20
Dan is BP = 20 + 4 = 24
PC/BP = TN/ET   dus  PC/24 = 3/4
PC = 24 3/4 = 18
       
  e.

       
    Het gaat om de afstand PT in de figuur rechts.
NRQ is gelijkvormig met QTP
QN2 = 32 + 62 = 45 dus  QN = √45
PT/PQ = QR/QN  dus  PT/6 = 6/√45  en dat geeft  PT = 36/√45 = 5,37
       
  f.

       
    PD staat loodrecht op vlak V.
Het gaat om de afstand PT.
PTS is gelijkvormig met DTB met factor 2.
Dus PT = 1/3PD = 1/3 √((5√2)2 + 52) = 1/3 5√3 = 5/3√3 = 2,89
       
3.  

       
  Teken vlak PQTB zodat PQ loodrecht op EG staat.
QGP is gelijkvormig met GPE
QG/GP = GP/PE  dus  QG/30 = 30/40  en dat geeft  QG = 30 30/40 = 22,5
QGR is gelijkvormig met GEP  dus  QR/QG = GP/GE  dus  QR/22,5 = 30/50 en dat geeft  QR = 22,5 30/50 = 13,5

PQ2 = QG2 + PG2  dus  PQ2 = 22,52 + 302 = 1406,25  dus  PQ = √1406,25 = 37,5

Over naar de rechterfiguur:
De gezochte afstand is PS  (loodrecht op BR en op EG)
PR = 37,5 - 13,5 = 24
BR2 = 242 + 322 = 1600, dus BR = 40
De oppervlakte van driehoek PRB is gelijk aan  1/2 PR PB maar ook gelijk aan  1/2 BR PS
Dus  1/2  24   32 = 1/2 40 PS
Dat geeft  PS = 19,2
       
4.

       
  Teken vlak PGCA loodrecht op HF.
Dan is  PS = 1/2PG = 1/2 4√2 = 2√2
AT = 1/4AC = 1/4 4√2 = √2
Zie de rechterfiguur
Teken in vlak PGCA een lijn PU loodrecht op ST
De gezocht afstand is PU (loodrecht op ST en op HF)
PUS is gelijkvormig met SWT  en  ST = √(42 + √22) = √18
PU/PS = SW/ST  dus  PU/2√2 = 4/√18  en dat geeft  PU = 2√2 4/√18 = 22/3.
       
5.

       
  Teken hulpvlak HFBD
De snijlijn van de vlakken is MN (M en N middens van de ribben)
HB is evenwijdig aan MN (zie de rechterfiguur: MN is "middenparallel van driehoek HDB)
De gezocht afstand is NP
Driehoek NPB is gelijkvormig met BFH
BH = √((62)2 + 122) = √216
NP/NB = BF/BH  dus  NP/3√2 = 12/√216
NP = 3√2 12/√216 = 3,46
       
6.

       
  Neem bijvoorbeeld punt P van het groene vlak, en ga de afstand van P tot het blauwe vlak bepalen.
teken Hulpvlak PQDA loodrecht op AP
Teken lijnstuk PT loodrecht op SQ (zie rechterfiguur)
PT staat loodrecht op het blauwe vlak (want loodrecht op ES en op SQ) dus PT is de gevraagde afstand.
De oppervlakte van driehoek PQS is  1/2 PQ PS en ook gelijk aan 1/2 SQ PT
SQ = √(42 + (22)2) = √24
1/2 4 2√2 = 1/2 √24 PT
PT = 2,31
       
7.

       
  a. De vlakken zijn evenwijdig als IP evenwijdig is aan BG
Dan is  IQ/QP = BF/BC  dus  h/2 = 6/4  en dat geeft  h = 3
       
  b. Zie het zijaanzicht rechts. De rode lijnen zijn evenwijdig.
Het gaat om de blauwe afstand FS.
De oppervlakte van driehoek FGB is gelijk aan 1/2 FG FB maar ook gelijk aan  1/2 BG FS
BG = √(42 + 62) = √52
1/2 4 6 = 1/2 √52 FS  geeft dan  FS = 24/√52 = 3,33
       
8.

       
  a. Teken hulpvlak BODF. S is het snijpunt van DF en EG.
Lijn BS snijdt dan zowel EG (in S) als OD (want ligt in BODF) dus is de gezochte lijn l.
Zie het bovenvlak rechts.
FD = √(82 + 82) = 8√2
ESD is gelijkvormig met GSF met factor 8.
Dus DS = 1/9FD = 8/9√2

In vlak BODF is dan  PDS gelijkvormig met POB
DS = 8/9√2 en  OB = DF = 8√2
Dus DS = 1/9OB
Dan is PD = 1/9PO
DO = PO - PD = 8/9PO = 4  dus is  PO = 41/2
       
  b.

       
    Teken een horizontaal vlak TSRU door Q en R
Zie de rechterfiguur.
QV2 = 102 - 82 = 36  dus QV = 6 en QS = 1  
(omdat QV > 1 weten we meteen dat Q inderdaad links van V ligt)

In het rechterzijvlak van het prisma is QSB gelijkvormig met QTG
QS = 1 en QT = 7 dus de factor is 7
Dan is GT = 7BS, dus  BS = 1/8GC =  1/8 4 = 1/2
De afstand van QR en ABC is dus 1/2.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)