|
|||||
| 1. | a. | Kies D als oorsprong. B = (4, 4, 0) en G = (0, 4, 4) dus M = (2, 4, 2) A = (4, 0, 0) AM = √(22 + 42 + 22) = √24 |
|
||
| b. | E = (4, 0, 4) C = (0, 4, 0) EC is de verplaatsing (-4, 4, -4) Dus EP is de verplaatsing (-4/3, 4/3, -4/3) Dan is P = (22/3, 4/3 , 22/3) G = (0, 4, 4) PG = √((22/3)2 + (22/3)2 + (4/3)2) = √16 = 4 |
||||
| c. | A = (4, 0, 0)
en B = (4, 4, 0) dus Q = (4, 2, 0) G = (0, 4, 4) en C = (0, 4, 0) dus R = (0, 4, 2) H = (0, 0, 4) en G = (0, 4, 4) dus S = (0, 2, 4) QR = √(42 + 22 + 22) = √24 QS = √(42 + 02 + 42 = √32 RS = √(02 + 22 + 22) = √8 Daar zijn niet twee gelijken bij, dus de driehoek is niet gelijkbenig. |
||||
| d. | Neem S = (0, -p,
4) met p > 0 QS = √(42 + (p + 2)2 + 42) QR = √24 RS = √(02 + (4 + p)2 + 22) QS = QR geeft 16 + (p + 2)2 + 16 = 24 ofwel (p + 2)2 = -8 en dat kan niet. RS = QR geeft (4 + p)2 + 4 = 24 (4 + p)2 = 20 4 + p = √20 p = √20 - 4 en dan is S = (0, 4 - √20, 4) QS = RS geeft 16 + (p + 2)2 + 16 = 0 + (4 + p)2 + 4 32 + p2 + 4p + 4 = 16 + 8p + p2 + 4 16 = 4p p = 4 en dan is S = (0, -4, 4) |
||||
| 2. | a. | Kies D als oorsprong. A = (4, 0, 0) T = (2, 2, 1) De verplaatsing AT is (-2, 2, 1) Dan is de verplaatsing AP = (-2/3, 2/3, 1/3) P = (31/3, 2/3, 1/3) C = (0, 4, 0) PC = √((31/3)2 + (31/3)2 + (1/3)2) = √221/3 |
|
||
| b. | T = (2, 2, p) en C = (0,
4, 0) dus M = (1, 3, 1/2p) A = (4, 0, 0) AM = √(32 + 32 + (1/2p)2) = 51/2 9 + 9 + 1/4p2 = 301/4 1/4p2 = 121/4 p2 = 49 p = 7 dus de hoogte van de piramide is 7. |
||||
| 3. | a. | HB heeft de richting 4, 4,
-4 Dus HP heeft dezelfde verhoudingen, dus p, p, -p Vanaf H (0, 0, 4) gerekend geeft dat punt (0 + p, 0 + p, 4 -p) en dat is het gevraagde punt. |
|
||
| b. | Q = (1, 4, 4) P = (p, p , 4 - p) PQ = √((p - 1)2 + (p - 4)2 + (4 - p - 4)2) = √(p2 - 2p + 1 + p2 - 8p + 16 + p2 ) = √(3p2 - 10p + 17) |
||||
| c. | √(3p2
- 10p + 17) is minimaal als 3p2 - 10p +
17 minimaal is. Dat is in de top van de parabool, en die ligt bij p = 1 = 11/3 P = (11/3, 11/3, 22/3) |
||||
| 4. | De route van het midden van de middelste kubus naar één van de uiterste hoekpunten van de andere kubussen staat hieronder getekend. | ||||
|
|
|||||
| MP = √(32 + 12 + 12) = √5 en dat is de straal van de bol. | |||||
| 5. | a. | Teken hulpvlak ACT. De snijlijn van ACT en MOP is MS. Het gezochte snijpunt is V |
|
||
| b. | Kies D als oorsprong. A = (6, 0, 0) T = (3, 3, 8) S = (41/2, 11/2, 0) De hoogte van V is 1/3 van de hoogte van N , want als N'de projectie van N op AC is, dan ligt N'A = 3/4AC en de hoogte van N is 4 Dus V = (41/2, 11/2, 11/3) AV = √((11/2)2 + (11/2)2 + (11/3)2) AV = √113/18 = 2,506 |
||||
| 6. |
|
||||
| a. | Hulpvlak AEGC Snijlijn PG van AEGC en MNGF Snijpunt S van EC en PG |
||||
| b. | Kies D als oorsprong. ESG en CSP zijn gelijkvormig, dus omdat CP = 0,5EG is ook PS = 0,5SG Dus PS is 1/3 deel van PG. P = (2, 3, 0) en G = (0, 6, 3) de verplaatsing PG is dan (-2, 3, 3) de verplaatsing PS is (-2/3, 1, 1) S is punt (11/3, 4, 1) E = (4, 0, 3) ES = √((22/3)2 + 42 + 22) ≈ 5,21 |
|
|||
| 7. | PRC is gelijkvormig met PGE omdat PC = 1/2EP is ook RC = 1/2EG. Dus R is het midden van AC AR = 1/2√52 EQS is gelijkvormig met CQG omdat EQ = 1/2QC is ook ES = 1/2CG Dus S is het midden van AE AS = 2 |
|
|||
| 8. | a. | Hulpvlak HFBD Snijlijn van de vlakken is DM P is het snijpunt van DM en HB. |
|
||
| b. | BPD is gelijkvormig met HPM BD = 2HM, dus BP = 2HP Dan is BP = 2/3HB HB = √(52 + 42 + 32) = √50 Dus BP = 2/3√50 |
||||
| c. | Hulpvlak HFBD Snijlijn van de vlakken is DS Q is het snijpunt van DS en HB |
|
|||
| d. | HSQ is gelijkvormig met BDQ. BD = 4HS, dus BQ = 4HQ Dan is BQ = 4/5HB BQ = 4/5√50 |
||||
| 9. | a. | Hulpvlak DNMA Snijlijn van de vlakken is AP S is het snijpunt van AP en DM |
|
||
| b. | DSA is gelijkvormig met MSP DA = 2MP, dus DS = 2SM Dan is DS = 2/3DM AM2 = 82 - 42 = 48 dus AM = √48 DM2 = 48 + 82 = 112 dus DM = √112 DS = 2/3√112 |
||||
| 10. | a. | Hulpvlak EGCA Snijlijn van de vlakken is UV T is het snijpunt van UV en EM |
 |
||
| b. |
|
||||
| Hier staat vlak EGCA,
met EM verlengd tot EW. ETU en WTV zijn gelijkvormig EU : VW = 3 : 7 Dus ET : TW = 3 : 7 dus is ET = 3/10EW EW = √((8√2)2 + 42 = √144 = 12 Dus ET = 3/10 · 12 = 3,6 |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
