Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stelling van raaklijn en koorde: de hoek tussen een raaklijn en een koorde van een cirkel is gelijk aan de omtrekshoek van die koorde.

∠ACD is zo'n hoek, en is dus gelijk aan de omtrekshoek van koorde CD.
Dat is ook gelijk aan ∠CFD.

∠ABD is ook zo'n hoek en is dus gelijk aan de omtrekshoek van koorde BD.
Dat is ook gelijk aan ∠BFD.

∠ACD + ∠ABD = ∠CFD + ∠BFD = ∠BFC.
maar in driehoek ABC zie je dat ∠ACD + ∠ABD + ∠BAC = 180º
Dus is ook ∠BFC + ∠BAC = 180º

Dus is ABFC een koordenvierhoek.

De rode hoeken zijn gelijk (stelling koorde en raaklijn)
De groene hoeken zijn gelijk (stelling koorde en raaklijn)
Een rode hoek is gelijk aan een groen (Z-hoeken)

Dus driehoek PQR heeft twee gelijke hoeken, dus is gelijkbenig.

∠PRQ = ∠RSP (koorde en raaklijn)
∠SRT = ∠SQR (koorde en raaklijn) (1)

∠PRS + ∠SRT = 180º
∠PQR + ∠SQR = 180º dus ∠PQR + ∠SRT = 180º (vanwege (1))
Daaruit volgt dat ∠PQR = ∠PRS

de driehoeken PQR en PRS zijn gelijkvormig (hoek P plus de rood+gele hoek)
^PQ/_PR = ^PR/_PS
PQ • PS = PR • PR

De drie gele hoeken zijn gelijk (koorde en raaklijn voor grote cirkel en kleine cirkel)

Dus zijn CD en AB evenwijdig (F-hoeken)

zie de figuur hiernaast.
de rode hoeken zijn gelijk (koorde en raaklijn)
de groene hoeken zijn gelijk (koorde en raaklijn)

rood + groen + geel = 180º (hoekensom driehoek ABS)
dus ∠PSQ + ∠PRQ = 180º
dan is PQRS een koordenvierhoek.
dan liggen de punten P, Q, R en S op één cirkel.

De driehoeken PAM en PBM zijn congruent (ZZR)
Dus is ∠PMA = ∠PMB

Omdat AQ en MB beiden loodrecht op de raaklijn PB staan zijn ze evenwijdig
Dus is ∠BMQ = ∠AQM (Z-hoeken)

Dan is ∠AQM = ∠PMA
Dus is driehoek AQM gelijkbenig, dus is AQ = AM

zie de figuur hiernaast.

de gele hoek is de hoek tussen koorde en raaklijn
de rode hoek is ook de hoek tussen koorde en raaklijn

het gaat om dezelfde koorde, dus de omtrekshoeken van die koorde zijn gelijk. Dus zijn ook de rode en de gele hoek gelijk
Driehoek PQR is dus gelijkbenig, dus PQ = PR

zie de figuur hiernaast.

teken een lijn door M evenwijdig aan RS.
Dat geeft de driehoeken MUP en MVQ
Die zijn congruent, want ze hebben twee gelijke hoeken (overstaande hoeken en een rechte hoek) en een zijde (straal r)

Dus MU = MV
Dan is TR = TS
MT is de middelloodlijn van lijnstuk RS, dus alle punten van MT hebben dezelfde afstand tot R als tot S, dus M ook.

QKM is gelijkvormig met PEM (twee gelijke hoeken)
Dus ^QK/_QM = ^PE/_PM
Omdat QK = QA en PE = PC wordt dat
^QA/_QM = ^PC/_PM

QAB is gelijkvormig met QMN
Dus ^OA/_OM = ^AB/_MN

PCD is gelijkvormig met PMN
Dus ^PC/_PM = ^CD/_MN

Uit de drie blauwe verhoudingen volgt: ^AB/_MN = ^CD/_MN dus moet AB = CD

10.

De driehoeken PSN en QRM zijn congruent (twee gelijke zijden en een rechte hoek)
Dus ∠PNS = ∠QMR
Maar dan is ook ∠TMP = ∠SNP (overstaande hoek van ∠QMR)
Dus zijn de driehoeken PTM en PSN gelijkvormig
TR staat loodrecht op beide raaklijnen dus TR = 4
Als TM = 4 - r
Uit de gelijkvormigheid volgt dan ^{(4 - r)}/_r = ^r/₃_r
Dus 4 - r = ¹/₃r
⁴/₃r = 4
r = 3

11.

De driehoeken MRT en MQT zijn congruent (ZZH)
Dus is RT = QT
stel RT = x
dan is QT ook x, dus QU = 7 - x
Dan is PU ook 7 - x, dus is PV = x - 1 (6 - (7 - x))
Dan is VS ook x - 1, dus is SW = 9 - x
Dan is WR ook 9 - x
Dus is WT = 9 - x + x = 9

12.

NC ⊥ PQ en AD ⊥ PQ dus NC en AD zijn evenwijdig

Dan is ∠AMB = ∠CNB
Dan zijn DAMB en DCNB gelijkbenig met gelijke tophoek.
Dus zijn ook de basishoeken gelijk en is ∠MBA = ∠NBC

Dus is ∠ACB = 180º en ligt C op AB.

13.

∠MBC = 90º
∠CMB = 70º (hoekensom driehoek MBC)
∠BMA = 110º (gestrekte hoek)
De beide hoeken met het vraagteken zijn gelijk want driehoek MBA is gelijkbenig.
Samen zijn ze 70º dus ? = 35º