Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

α = 20º geeft tan20 = ^AC/₂₀ ⇒ AC = 20 • tan20 = 7,28
de oppervlakte van ABC is dan ¹/₂ • 7,28 • 20 = 72,8
de inhoud van het weggestroomde water is dan 72,8 • 20 = 1456 cm³
dat is 1,456 liter.

Hetzelfde verhaal als hierboven maar nu met a ipv 20:
AC = 20 • tanα
opp ABC is ¹/₂ • 20 • tanα • 20 = 200tanα
inhoud van het weggestroomde water is 200tanα • 20 = 4000 • tanα cm³
dat is 4tanα liter
Dan blijft er 12 - 4tanα liter over in de bak.

tanα =³⁰/_AB ⇒ AB = 30tanα
de oppervlakte van ABC is dan ¹/₂ • 30tanα • 30 = 450tanα

De inhoud van het water in de bak is dan 450tanα • 20 = 9000tanα cm³
Dus V = 9tanα liter

als α = 50º dan is ∠UPQ = 40º
sin40º = ^UQ/₂₀ ⇒ UQ = 20 • sin40º = 12,86
h = 14 + 12,86 = 26,86

∠PQU = α (Z-hoeken)
cosα = ^QU/₂₀ ⇒ QU = 20cosα
h = 14 + 20cosα

QR² = 20² + 10² - 2• 20 • 10 • cos20º = 124,12
QR = √124,12 = 11,14 meter

QR² = 20² + 10² - 2• 20 • 10 • cosα
QR² = 500 - 400cosα
QR = √(500 - 400cosα)

cosα = ^x/₈ ⇒ x = 8cosα
sinα = ^y/₈ ⇒ y = 8sinα

de driehoek heeft oppervlakte ¹/₂ • xy = ¹/₂ • 8cosα • 8sinα = 32sinαcosα

de rechthoek heeft oppervlakte
y(12 - x) = 8sinα(12 - 8cosα) = 96sinα - 64sinαcosα

samen geeft dat 32sinαcosα + 96sinα - 64sinαcosα = 96sinα - 32sinαcosα

sinα = ^h/₂₀ ⇒ h = 20sinα
cosα = ^BC/₂₀ ⇒ BC = 20cosα

driehoek ABC heeft oppervlakte ¹/₂ • 20sinα • 20cosα = 200sinαcosα

de rechthoek heeft oppervlakte 40 • 20sinα = 800sinα

er zijn twee zulke driehoeken en één rechthoek, dus samen geeft dat:
400sinαcosα + 800sinα

Y1 = 400sin(X)cos(X) + 800sin(X)
calc - macimum geeft een maximumoppervlakte van 880,73 (voor α = 68,53º)

sinx = ^ST/₁ dus ST = sinx
cosx = ^MT/₁ dus MT = cosx

TP²= SP² - ST² = 16 - sin²x dus TP = √(16 - sin²x)
a = MT + TP = cosx + √(16 - sin²x)

Als S helemaal links van M op het verlengde van MP ligt is MP = PS - MS = 4 - 1 = 3
Als S helemaal rechts tussen M en P op lijnstuk MP ligt is MP = PS + MS = 4 + 1 = 5

4 = cosx + √(16 - sin²x)
4 - cosx = √(16 - sin²x)
(4 - cosx)²= 16 - sin²x
16 - 8cosx + cos²x = 16 - (1 - cos²x)
8cosx = 1
cosx = ¹/₈
x = 82,8º of x = 277,18º

Helemaal ingeklapt:
van de 120 AR steekt dan nog 120 - 40 = 80 boven Q uit (40 ligt langs QR)
A ligt 80 boven Q dus h = PA = PQ + QA = 200 + 80 = 280

⁶⁰/_sin30 = ⁴⁰/_sinβ
sinβ =^{40 • sin30}/₆₀ = ¹/₃
Maar ∠RAU is ook gelijk aan β (Z-hoeken)
sinRAU = ^UR/₁₂₀ ⇒ UR = 120 • ¹/₃ = 40
AU = √(120²- 40² ) = 113,1

cosa = ^QV/₄₀ ⇒ QV = 40cosa = 40 • cos30º = 34,6

Dan is x = AS = PQ - QV + AU = 200 - 34,6 + 113,1 = 278,5

dezelfde berekening met a ipv 30º:

⁶⁰/_sinα = ⁴⁰/_sinβ
sinβ =^{40 • sinα}/₆₀ = ²/₃ sinα

sinRAU = ^UR/₁₂₀ ⇒ UR = 120 • ²/₃sinα = 80sinα
AU = √(120²- (80sinα)² ) = √(14400 - 6400sin²α) = 40√(9 - 4sin²α)

cosα = ^QV/₄₀ ⇒ QV = 40cosα

Dan is x = AS = PQ - QV + AU = 200 - 40cosα + 40√(9 - 4sin²α)

Driehoek RPS is gelijkbenig
Teken de hoogtelijn SM vanuit S

sin(10) = ^MP/₂₅ ⇒ MP = 25 • sin10 = 4,34
Dan is RP = 2 • 4,34 = 8,68 en UP = 50 - 8,68 = 41,32

∠MPS = 80º = ∠UPQ

sin80º = ^QU/_PU = ^QU/_41,32
QU = 41,32 • sin80º = 40,7 cm

∠PSM = ¹/₂x
∠SPM = 90º - ¹/₂x
∠UPQ = 90º - ¹/₂x
∠PUQ = ¹/₂x

sinx = ^MP/₂₅ ⇒ MP = 25sin¹/₂x ⇒ PR = 50sin¹/₂x ⇒ UP = 50 - 50sin¹/₂x
cos(PUQ) = cos(¹/₂x) = ^QU/_UP
QU = UP • cos(¹/₂x) = (50 - 50sin¹/₂x) • cos(¹/₂x) = 50 • cos(¹/₂x)• (1 - sin¹/₂x)

tan60 = ^EB/_AE ⇒ AE = ^EB/_tan60 = 13/√3 = ¹³/₃√3
dan is de oppervlakte van de beide driehoeken ABE en DCF samen ¹³/₃√3 • 13 = ¹⁶⁹/₃√3
de oppervlakte van rechthoek BCEF is 200 • ¹³/₃√3 = ²⁶⁰⁰/₃√3
samen geeft dat 923√3
dat zou bij 3 m/sec een hoeveelheid van 3 • 923√3 = 2769√3 m³ water geven
dat is ongeveer 4796 m³

AE = ^h/_tan60 = 0,577h
Oppervlakte beide driehoeken samen is 0,577h • h = 0,577h²
Oppervlakte rechthoek is 200 • h
Natte oppervlakte is 0,577h²+ 200h ≈ 0,6h² + 115h

sin60 = ¹/₂√3 = ^h/_AB ⇒ AB = ^h/_0,5√3 = 1,15h
Natte omtrek is AB + BC + CD = 2,3h + 200

op elkaar delen geeft de gevraagde formule.

sinMDK = ^MK/_MD = ²⁰/₃₀ ⇒ MDK = 41,8º
dan is ∠ADK = 180 - 41,8 = 138,2º ≈ 138º

De slagboom is zo ver mogelijk open als K op het verlengde van DM op de cirkel ligt.
Zie de figuur hiernaast. ∠ADK = 138º

De openingshoek in de situatie hierboven is 180 - 138 = 42º

In driehoek MLK: cos(180 - α) = ^ML/_MK = ^ML/₂₀
ML = 20 • cos(180 - α) = -20cosα

DL = DM + ML = 30 - 20cosα

DL = 30 - 20cosα
sin(180 - α) = ^KL/_KM ⇒ KL = 20 • sin(180 - α) = 20sinα
tanβ = ^KL/_DL = ^20sinα/_{(30 - 20cosα)} = ^2sinα/_{(3 - 2cosα)}

10.

zie hiernaast. CG staat loodrecht op EF

tanα = ^GC/_GB ⇒ GB = GC/_tanα = 4/_tanα
prisma AHD.BGC heeft grondvlak BGC en hoogte AB
BGC heeft oppervlakte ¹/₂ • 4/_tanα • 4 = 8/_tanαDe inhoud van het prisma is 8/_tanα • 10 = 80/_tanα

tanβ = ^GC/_GF ⇒ GF = ^GC/_tanβ= ⁴/_tanb
piramide B.GCF heeft grondvlak GCF en hoogte BG
de oppervlakte van GCF is ¹/₂ • ⁴/_tanβ • 4 = ⁸/_tanβ
de inhoud van de piramide is ¹/₃ • ⁸/_tanβ • ⁴/_tanα = ³²/_3tanβtanα

De totale inhoud is het prisma plus twee piramides: 80/_tanα+ ⁶⁴/_3tanαtanβ
= ^{3 • 80tanβ}/_3tanαtanβ + ⁶⁴/_3tanβtanα
de tellers optellen geeft de gevraagde formule.

11.

De situatie is dan als hiernaast.
De diagonaal van een vierkant met zijde 1 heeft lengte √2
De rechthoek er omheen heeft dan afmetingen 1 + √2 bij 0,5√2 + 1
De omtrek is (1 + √2)(0,5√2 +1)
= 0,5√2 + 1 + 1 + √2 = 2 + 1,5√2

In de figuur hiernaast zijn een aantal hulplijnen getrokken.
Daardoor ontstaan drie kleine rechthoekige driehoekjes, waarin we SOS-CAS-TOA mogen toepassen.
cos t = ^a/₁ geeft a = cos t
sin t = ^b/₁ geeft b = sin t
sin t = ^c/₁ geeft c = sin t
De hoogte van de rechthoek is 1 + a + b, de breedte is 1 + c
De oppervlakte is dan;
(1 + a + b)•(1 + c) = (1 + cos t + sin t)•(1 + sin t)
En dat is precies de gezochte formule.

De figuur hiernaast is op verschillende manieren te verkrijgen:

Spiegelen in de diagonaal van het vierkant.

of

De lengte en breedte van de omschrijvende rechthoek verwisselen.