© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.

       
  a. Zie de linkerfiguur.
15x + 1/2 • 5 • x = 210   ⇒  17,5x = 210  ⇒  x = 210/17,5 = 12
       
  b. De rode driehoek in de rechterfiguur heeft dezelfde hoeken als die in de linkerfiguur.
De verkleiningsfactor is 2/3 (van 12 naar 8), en de opstaande zijde is dus 5 • 2/3 = 31/3
De oppervlakte van de rode driehoek rechts is 1/2 • 8 • 31/3 = 131/3
   
Zie de figuur hiernaast. Daar is die rechterbovenhoek uitvergroot.
De hoek van 67º is eigenlijk gelijk aan tan-1(12/5) = 67,38...º
Dan zijn de aangegeven hoeken 56,3099...º
tan(56º) = a/2 ⇒ a = 3

De lichtgroene rechthoek heeft zijden 8 en  20 - 3 - 2 - 31/3 = 112/3
De oppervlakte is dan 8 • 112/3 = 931/3

De hele bebouwbare oppervlakte is dan 931/3 + 131/3 = 1062/3

       
2. Noem de zijden van de zeshoek z.
Dan geldt (zie de figuur)  h2 = z2 - (1/2z)2 = 3/4z2
h = 1/2z√3

Het vierkant heeft zijden 2h = z√3 en oppervlakte 3z2

a = h - 0,5z = z(1/2√3 - 1/2)
de driehoek met zijden a en b is een  30-60-90 driehoek (de zeshoek heeft hoeken van 120º), en die heeft zijden in verhoudingen 1 - 2 - √3
Dus b =  a√3 = z(3/2 - 1/2√3)
 

  de oppervlakte van die driehoek is  1/2 •   z(1/2√3 - 1/2) • z(3/2 - 1/2√3)
vier van zulke driehoeken hebben oppervlakte:   2 • z(1/2√3 - 1/2) • z(3/2 - 1/2√3)
= 2z2 • (3/4√3 - 3/4 - 3/4 + 1/4√3)
= z2 • (2√3 - 3)
Van de 3z2  wordt   z2 • (2√3 - 3) niet bedekt door de zeshoek
Dat is  (2√3 - 3)/3 • 100% = 15%
       
       
3.

       
  De oppervlakte van de ruit is gelijk aan de oppervlakte van een rechthoek met afmetingen 1/4 en 1/3 van de diagonaal d.
Die oppervlakte is 1/4d • 1/3d = 1/12d2
De oppervlakte van het vierkant is 1/2d2  dus de ruit is  1/6 van het vierkant, dus 6.
       
4. De driehoek hiernaast heeft hoeken 30-60-90 en dus is de verhouding van de zijden  1 - 2 - √3

De binnenste gelijkzijdige driehoek heeft zijden √3
De buitenste gelijkzijdige driehoek heeft zijden 3

Dat is een vergroting met factor √3
De oppervlakte wordt dan vergroot met factor 3
De verhouding is dus 1 : 3

       
5. De driehoeken ABC en FDC zijn gelijkvormig met factor 3
(imimers CF = 3 • AC)
Dus is DC = 3BC
dan h = 3/4H
Schuif de twee groene driehoeken tegen elkaar en je krijgt een parallellogram met basis 4 en hoogte 3/4H
Dat heeft oppervlakte 4 • 3/4H = 3H

Het oorspronkelijke parallellogram had oppervlakte 5H
Van die 5H is 2H vernield en dat is 40%
       
6.

       
  Als P precies in A uitkomt dan zijn de zijden van de driehoek elk 6.
P draait eerst een halve cirkel met middelpunt A:  oppervlakte  1/2 • π • 182 = 162π
P draait dan een derde cirkel met middelpunt B:  oppervlakte  1/3 • π • 122 = 48π
P draait dan een derde cirkel met middelpunt C:  oppervlakte  1/3 • π • 62 = 12π
Samen is dat  162π + 48π + 12π = 222π
       
7. Cirkelsector ABE is 1/8 cirkel en heeft oppervlakte 1/8 • π • 42 = 2π
Cirkelsector BAD heeft dan ook oppervlakte 2π
Driehoek ACB heeft oppervlakte 1/2 • 4 • 2 = 4.
Als je de twee sectoren optelt en er dan tweemaal driehoek ABC afhaalt hou je de gebieden a + b + c + d hiernaast over
Dus a + b + c + d = 4p - 8

Halve cirkel ACB heeft oppervlakte  1/2 • π • 22 = 2π
Trek daar driehoek ACB vanaf en je houdt b + c over.
Dus b + c = 2π - 4

Dat geeft met het bovenstaande dat  a + d = 2π - 4

AC = 2√2 dus  CE = 4 - 2√2
Cirkelsector CDE (gebied e) heeft oppervlakte  1/4 • π • (4 - 2√2)2

       
  Het gehele gele gebied heeft dan oppervlakte 1/4 • π • (4 - 2√2)2 + 2π - 4
= 1/4π • (16 - 16√2 + 8) + 2π - 4
=  6π - 4π√2 + 2π - 4
= π(8 - 4√2) - 4
       
8. Als de gezinshut straal r heeft, dan hebben de kleinere hutten straal 1/2r
De totale oppervlakte van de hutten is dan  πr2 + 3 • π • (1/2r)2 = 7/4πr2

Het hele terrein heeft oppervlakte  π • (1/2D)2 = 1/4πD2
De hutten zijn daar maximaal 1/3 deel van:    1/3 • 1/4πD2 = 7/4πr2
1/12D2 = 7/4r2
r2 = 1/21D2
r = √(1/21) • D
De diameter is dan 2r = 2√(1/21) • D   (≈ 0,44D)
       
9. AFE en AFB hebben dezelfde hoogte (met als basis EF en FB) dus de verhouding van de oppervlaktes is gelijk aan de verhouding van bases: 
a/b  =  EF/FB

Op dezelfde manier met AFB en FDB vinden we b/c = AF/FD
Op dezelfde manier met CFA en CFD vinden we  (x + a)/y =  FA/FD = b/c

Tenslotte met CFE en CFB vinden we  (y + c)/x = FB/FE = b/a  (zie boven)

Kruislings vermenigvuldigen geeft  (x + a) • c = b • y  ofwel  y = (xc + ac)/b
Nogmaals kruislings vermenigvuldigen geeft (y + c) • a = x • b 

  Substitueren:   bx = a • ((xc + ac)/b + c) 
⇒  b2x = axc + a2c + abc
⇒ x • (b2 - ac) = a2c + abc
 
  en op dezelfde manier vinden we:
 
  samennemen:
 
       
10. Noem de oppervlakte van PDCE gelijk aan a, en die van QEAB gelijk aan b en vlaakdeel PEQ is c.
Dan is de gevraagde oppervlakte gelijk aan a + c + c + b = a + b + 2c

       
  Maar in de tweede figuur zie je dat oppervlakte OEQ = 1/2b
Immers het is een driehoek met basis EQ en hoogte BQ.

Op dezelfde manier is oppervlakte OEP = 1/2a

Dus  a + b + 2c = 2OEQ + 2OEP + 2c = 2(OEQ + OEP + PEQ)
Dat is precies tweemaal cirkelsegment OPQ.

Omdat de lengte van PQ constant is, is de oppervlakte van cirkeldeel OPQ dat ook, dus tweemaal OPQ is ook constant.

       
11. Het trapezium heeft oppervlakte  1/2 • (0,75x + 1,5x) • h
dat is  1,125xh

Het parallellogram had oppervlakte xh

Dat is dus 12,5% groter
       
12. De langste zijde van een driehoek moet altijd korter zijn dan de andere twee samen (anders kun je geen driehoek maken)
Dat geeft als enige mogelijkheid voor de zijden van de driehoek:  2-3-3
Die is gelijkbenig. Kies als basis de zijde van 2.
Voor de hoogte h geldt dan  h2 = 32 - 12 = 8  dus h = √8 = 2√2
De oppervlakte is dan 1/2 • 2 • 2√2 = 2√2 
       
13. Diameter 4 betekent oppervlakte π • 22 = 4π
De vier perken hebben samen een oppervlakte van 16π
Het kost 4 • 4 = 16 tuinmanuren om 16π oppervlakte te schoffelen.
Eén tuinman schoffelt dus in één uur  π  oppervlakte

Diameter 6 betekent oppervlakte π • 32 = 9π
De zes perken hebben samen een oppervlakte van 54π
Dat kost dus 54 tuinmanuren.
Er zijn 6 tuinmannen dus dat kost 9 uren.
       
14 Een driehoek heeft hoogte  √(12 - 0,52) = 0,5√3
Een driehoek heeft oppervlakte 0,5 • 1 • 0,5√3 = 0,25√3
Daar zijn er vier van:  samen  √3

Twee halve cirkels met straal 0,5 geeft oppervlakte samen  0,25π

De andere stukken (met middelpunten C, C, D, en E) heffen elkaar precies op.

De oppervlakte wordt dan 1/4π + √3

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)