Đ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Als de verhouding 23 : 9 is,  dan is het eigeel 9/32 deel van het totaal (en het eiwit 23/32 deel)
De totale oppervlakte is  πr2 = π • 22 = 12,57
Het eigeel heeft dus oppervlakte  9/32 • 12,57 = 3,53
Als de straal van het eigeel r is, dan geldt er dus  πr2 = 3,53
r
2 = 3,53/π = 1,125  ⇒  r = 1,125 = 1,06
De diameter is dan  2 • 1,06 = 2,1 cm  
       
2. Drie rechthoeken van 5 bij 20 geeft  300 km2

Drie cirkeldelen van elk 120š is precies een hele cirkel met straal 5 km.
Dat is  π • 52 = 78,5 km2

Samen geeft dat  378,5 km2
       
3. Noem de middellijn M, en verdeel die in n gelijke stukken.
Noem die punten  P1 tot en met Pn  (vanaf A naar B)

Het deel boven AB:
De halve cirkel van Pi naar A heeft middellijn  i • M/n  en dus straal 0,5i • M/n
De oppervlakte daarvan is  0,5 • π • (0,5i • M/n)2  = 1/8 • π • i2 • Mē/nē    
De halve cirkel van Pi - 1 naar A moet daar nog vanaf.
Dat is  0,5 • π • (0,5(i - 1) • M/n)2  = 1/8 • π • Mē/nē • (i2 - 2i + 1)
Samen geeft dat  1/8 • π • Mē/nē
  • (2i - 1)

Het deel onder AB
De halve cirkel van Pi naar B heeft middellijn   (n - i) • M/n  en dus straal
0,5 • (n - i) • M/n.
De oppervlakte daarvan is  0,5 • π • (0,5 • (n - i) • M/n)2 
= 1/8 • π • /nē • (n - i)2
De halve cirkel van  Pi + 1 naar B moet daar nog  vanaf
Dat is  0,5 • π • (0,5 • (n - i + 1) • M/n)2 
= 1/8 • π • /nē • ((n - i)2 - 2(n - i) + 1)
Samen geeft dat  1/8 • π • /nē ( 2(n - i) + 1)

Beide delen samen.
1/8 • π • /nē
  • (2i - 1)  +  1/8 • π • /nē ( 2(n - i) + 1)
= 1/8 • π • /nē (2i - 1 +  2n - 2i + 1)
= 1/8 • π • /nē • 2n
= 1/4 • π • /n
= 1/n • (1/4πM2)  en dat is inderdaad 1/n ste deel van de hele cirkel.
       
4. Het gele deel is wat je krijgt als twee kwartcirkels elkaar overlappen in een vierkant (zijde 1). Het gele deel is hoeveel die beide kwartcirkels samen meer zijn dan het vierkant.
De cirkels hebben oppervlakte  0,5πr2 =  0,5π
Het vierkant heeft oppervlakte 1
Het gele deel heeft dus oppervlakte 0,5π - 1

De totale gele oppervlakte is dan  vierkant - 8 halve cirkels + 8 gele citroenen (want die zijn er elk tweemaal afgehaald)
=  16 - 8 • 0,5π • 12 + 8(0,5π - 1)
=  16 -  4π + 4π - 8
=  8

       
5. Neem als zijde van het vierkant 1.
Het bovenste deel is een halve cirkel met straal 0,5 dus oppervlakte  0,5 • π • 0,52 = 1/8π

Het onderste deel is de helft van wat je overhoudt als je twee halve cirkels van het vierkant afhaalt.
Dat is dus  1/2 • (1 - π • 0,52) = 1/2 - 1/8π

Samen is dat 1/2.

       
6. Noem de middelpunten van de cirkels M en N.
Omdat PQ een middellijn is, is hoek PMQ 90š.

De oppervlakte van het cirkelsegment MPQ van de grote cirkel is 1/4πr2
MN = NP = 1/2r√2  (45-45-90 driehoeken)
De oppervlakte van driehoek MPQ is 1/2 • r√2 • 1/2r√2 = 1/2r2

Het cikelsegment min de driehoek heeft dan oppervlakte 1/4πr2 - 1/2r2

Het maantje heeft oppervlakte de helft van de kleine cirkel min dit laatste deel.   1/2 • π • (1/2r√2)2 - 1/4πr2 + 1/2r2 = 1/2r2
       
7. Gebied V hiernaast is een rechthoek min twee kwartcirkels.
De opp. van V is  8 - 1/2 • π • 22 = 8 - 2π

Het groene deel is V plus een halve cirkel
De opp. is  1/2 • π • 22 + 8 - 2π  = 8
       

Đ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)