|
|||||
| 1. | ∠ BCD is 180 - 75 -
45 = 60º dus driehoek BCA is een 30-60-90 driehoek, en heeft dus
zijdenverhouding 1- 2 - √3 BC = 8, dus is AB = 8√3 AEB is een 45-45-90 driehoek, en geeft dus zijdenverhouding 1-1-√2 AB = 8√3, dus AE = BE = 8√3/√2 De oppervlakte van ABE is dan 1/2 • (8√3/√2)2 = 48 |
|
|||
| 2. | Stel BF = x,
dan is ook DF = x (vierkant) ABF is een 30-60-90 driehoek BF = x geeft dan AF = x√3 AD = AF + FD = x√3 + x = 12 x(1 + √3) = 12 x = 12/(1 + √3) AB = 2x = 24/(1 + √3) ( = 12√3 - 12) |
 |
|||
| 3. | De hoeken van DEC zijn 60º Dus ∠ADE = 30º DEA is een gelijkbenige driehoek met tophoek 30º dus zijn de basishoeken 75º Dan is ∠CEF = 180 - 75 - 60 = 45º Dus CEF is een 45-45-90 driehoek. CF = 6, dus EC = 6√2 Het vierkant heeft oppervlakte (6√2)2 = 72 |
|
|||
| 4. | Stel de bissectrice is BD Teken vanuit D een lijn loodrecht op BC. De driehoeken ADB en EDB zijn gelijk, dus DE is 1 Dan is CDE een 30-60-90 driehoek (1 - 2 - √3) Maar dan is ABD ook een 30-60-90 driehoek AC = 3, dus AB = √3 BD2 = 12 + (√3)2 = 4 BD = 2 |
|
|||
| 5. | De gele driehoek is 1-1-√2 met
schuine zijde 2 De zijden zijn dan 1/√2 = 1/2√2 Het vierkant is dan 2 + √2 |
|
|||
| 6. | De diagonaal van het vierkant
heeft lengte √2 (1-1-√2) Het kleine rode driehoekje heeft dus een zijde van √2 - 1 Maar dat is ook een 1-1-√2 driehoekje (de hoeken zijn 45º) dus de oppervlakte ervan is 1/2 • (√2 - 1)(√2 - 1) = 1/2(2 - 2√2 + 1) = 11/2 - √2 Het gele deel heeft dan oppervlakte 1/2 - 11/2 + √2 = √2 - 1 |
|
|||
| 7. | ADB is 45-45-90 dus als AD
= 1 dan is AB = √2 Dan is AP = 0,5√2 ACP is 30-60-90 dus als AP = 0,5√2 dan is AC = √2 De stralen van de cirkels verhouden zich als 1 : √2 De oppervlaktes verhouden zich dan als 1 : 2 |
|
|||
| 8. | De drie rode hoeken zijn gelijk,
dus allemaal 60º Dus de driehoeken in d eruit zijn 30-60-90 driehoeken. Dat betekent dat y = 2 en x = 1 De oppervlakte van de ruit is dan 4 • 0,5 • x • √3 = 2√3 |
|
|||
| 9. | Noem de straal x Dan zie je hiernaast een 30-60-90 driehoek, dus de afstand van P naar het middelpunt is 2x PQ = 3x = 12 x = 4 |
|
|||
| 10. |
|
||||
| Zie de figuur voor de
afmetingen. - driehoek met schuine zijde 1: oppervlakte 1/4 - rechthoek oppervlakte 1/2 - samen 3 vierkantjes met elk oppervlakte 1/16 geeft oppervlakte 3/16 De totale oppervlakte is dan 15/16 |
|||||
| 11. | Zie de figuur hiernaast. Daar staan 12 driehoekjes 30-60-90 met schuine zijde 1. De oppervlakte is 12 • 0,5 • 0,5√3 • 0,5 = 1,5√3 Verder zijn er twee rechthoeken van 1 bij 0,5, dus oppervlakte samen 1 En er is een grote rechthoek van √3• (1 + √3) Totaal 1,5√3 + 1 + √3 + 3 = 4 + 2,5√3 |
|
|||
| 12. | Zie alle hoeken van
30 en 60 hiernaast. Met een heleboel loodlijnen getekend. De blauwe afstanden volgen allemaal uit 1-2-√3 drieghoeken. Ga dat vooral zelf na. Je ziet dat de zijde gelijk is aan: 2,5 + 4,5 + 3 + 2 = 12 |
|
|||
| 13. | Stel de zijden van
het vierkant en de driehoek x. Dan is de driehoek rechtsonder 30-60-90 De afmetingen ervan zijn dan 0,5x√3 en 0,5x 4 = x + 0,5x√3 4 = x(1+ 0,5√3) x = 4/(1 + 0,5√3) = 16 - 8√3 De hoogte is 0,5x + 0,5x√3 = (8 - 4√3) + 8√3 - 12 = 4√3 - 4 |
|
|||
| 15. | APS is een 1-2-√3
driehoek, Stel AP = x dan is PS = 0,5x√3 Maar dan is PB = 10 - x Dus ook PQ = 10 - x want PQB is gelijkzijdig De oppervlakte van de rechthoek is (10 - x) · 0,5x√3 = 8√3 Dus (10 - x) · x = 16 x2 - 10x + 16 = 0 x = 2 ∨ x = 8 |
|
|||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
