h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.

       
  A ABC ~ DBE
   
AB
9
BC
 
AC
6
DB
6
BE
5
DE
 
    BC = 9 5/6 = 71/2  dus  CE = 21/2
DE = 6 6/9 = 4
       
  B. ABC ~ DBE
   
AB
4
BC
5
AC
3
DB
 
BE
8
DE
 
    BC = 5 volgt uit de stelling van Pythagoras
DB = 4 8/5 = 6,4
DE = 3 8/5 = 4,8
       
  C AED ~ DFC ~ DCB
   
AE
 
ED
 
AD
6
DF
 
FC
 
DC
8
DC
8
CB
6
DB
10
    DB = 10 met de stelling van Pythagoras.
AE = 6 8/10 = 4,8
ED = 6 6/10 = 3,6
FC = 8 6/10 = 4,8
DF = 8 8/10 = 6,4
       
2. a ADE ~  FCE  
   
AD
6
DE
8
AE
 
FC
y
CE
2
FE
x
 
    y = 2 6/12 = 1
AE = 10  met de stelling van Pythagoras
x = 10 2/8 = 2,5
 
       
  b. AED ~  ABC  
   
AE
x
ED
3
AD
3
AB
x + 2
BC
5
AC
y + 3
 
    3(y + 3) = 15  geeft  y = 2
5x = 3(x + 2)  geeft  x = 3
 
       
3. Zie de figuur met de gelijke hoeken hiernaast.

ADE ~ ECB ~ BEA

 
AD
5
DE
 
AE
 
EC
3
CB
5
EB
34
BE
34
EA
 
BA
 
       
  EB = 34 volgt uit de stelling van Pythagoras (driehoek ECB). De waarde van EB heb je trouwens helemaal niet nodig.
DE = 5 5/3 = 81/3
AB = 3 + 81/3 = 111/3
       
4. a. ∠BAE + ∠ABE = 90  (driehoek ABE)
∠ABE + ∠DCB = 90 (driehoek BCD
Dus  ∠BAE = ∠DCB
Dus de driehoeken hebben dezelfde hoeken en zijn dus gelijkvormig.

     
  b.
BA
8
AE
 
BE
2
BC
 
CD
 
BD
4
       
    BC = 8 4/2 = 16
Dan is  CD2 = BC2 - BD2 = 256 - 16 = 240
Dus CD = 240
Oppervlakte is  1/2 8 240 = 2240 (= 1615) 
 
       
5. ACB ~ ADC want er zijn twee hoeken gelijk, dus alledrie.
 
AC
x
CB
6
AB
8
AD
2
DC
 
AC
x
  Stel AC = x dan geldt uit de tabel  x2 = 16  dus  x = 4
Dan is CD = 6 4/8 = 3
       
6. Aan de hoeken hiernaast kun je zien dat  ADE ~ ACB ~ GFB

     
 
AD
 
DE
1
AE
 
AC
3
CB
4
AB
5
GF
1
FB
 
GB
 
       
  AD = 1 3/4 = 3/4
FB =1 4/3 = 4/3
d = 5 - 3/4 - 4/3 - 1 - 1 = 11/12
       
7. AB = 10 en BC = 8, die zijn makkelijk

AE = (62 + 82) = 10  (Pythagoras in driehoek ADE)
DB = (102 + 82) = 164  (Pythagoras in driehoek ABD)
DEF ~ BAF  (zandloperfiguur
 
DE
6
EF
x
DF
y
BA
10
AF
10-x
BF
√164 - y
  Stel EF = x dan is  AF = 10 - x
uit de tabel volgt:  6(10 - x) = 10x
60 - 6x = 10x
16x = 60
x = 60/16 = 3,75
Dan is  EF = 3,75 en AF = 10 - 3,75 = 6,25

Stel DF = y  dan is  BF = 164 - y
uit de tabel volgt dan  6(164 - y) = 10y
6164 = 16y
y
= 3/8164  = 4,80
Dan is  DF = 4,80  en  BF = 8,00
       
8. AC = (82 + 82) = 82
DGA ~ EGC
Als AG = x dan is  CG = 82 - x
Als GH = y  dan is GI = 8 - y

 
DG
 
GA
x
DA
8
HG
y
EG
 
GC
82 - x
EC
6
GI
8 - y
  8(82 - x) = 6x
642 = 14x
x
= 64/142 = AG

8(8 - y) = 6y
64 = 14y
y
= 64/14
       
  GF = ((64/142)2 + (64/14)2) = (3072/49) ≈ 7,92
       
9. Noem het snijpunt van CD en AE punt S.

BED ~ BCA
Stel  BE = x dan is  BC = x + 4

 
BE
x
ED
2
BD
4
BC
x + 4
CA
 
BA
10
  CA = 2 10/4 = 5

4(x + 4) = 10x
16 = 6x
x
= BE = 16/6 = 22/3
 
     
  ASC ~  ESD  (zandloperfiguur)  
 
AS
5
SC
3
AC
5
ES
2
SD
 
ED
2
 
  ES = 5 2/5 = 2
SD = 3 2/5 = 11/5
 
       
10. ABC ~ DAC ~ EDA ~ FED ~ GFE ~  GBF
AD = 4 (3-4-5 Pythagoras)
     
 
AB
20/3
BC
25/3
AC
5
DA
4
AC
5
DC
3
ED
3,2
DA
4
EA
2,4
FE
2,56
ED
3,2
FD
1,92
GF
2,048
FE
2,56
GE
1,536
GB
1024/375
BF
256/75
GF
2,048
       
  AB = 5 4/3 = 20/3  en   BC = 5 5/3 = 25/3
ED = 4 4/5 = 3,2  en  EA = 3 4/5 = 2,4
FE = 3,2 3,2 /4 = 2,56  en   FD = 2,4 3,2/4 = 1,92
GF = 2,56 2,56/3,2 = 2,048 en  GE = 1,92 2,56/3,4 = 1,536
BF = 2,56 2,048/1,536 = 256/75  en  GB = 2,048 2,048/1,536 = 1024/375
AE + EG + GB = 2,4 + 1,536 + 1024/37520/3  en dat is inderdaad gelijk aan AB.
CD + DF + FB = 3 + 1,92 + 256/75 = 25/3 en dat is inderdaad gelijk aan BC.
       
11. ABC ~ AFE ~ ACD

     
 
AB
13
BC
5
AC
12
AF
5
FE
 
AE
 
AC
12
CD
 
AD
 
       
  AB = 13  (Pythagoras in driehoek ABC)
AD = 12 12/13 = 144/13
AE = 12 5/13 = 60/13
DE = AD - AE = 144/13 - 60/13 = 84/13
       
12. a. CBD ~ ACD ~ ABC
   
CB
a
BD
?
CD
 
AC
b
CD
 
AD
?
AB
c
BC
a
AC
b
    AD = b/c
BD = a/c
 
       
  b. c = AD + BD =  b/c + a/c(a + b)/c 

Vermenigvuldig met c en je krijgt  c2 = a2 + b2  
       
13. a. BEF ~ BDC  en  CEF ~ CAB
 
   
CE
 
EF
h
CF
b
CA
 
AB
8
CB
a + b
    8b = h(a + b)
     
   
BE
 
EF
h
BF
a
BD
 
DC
5
BC
a + b
    5a = h(a + b)  
       
  b. de vergelijkingen zijn beiden gelijk aan  h(a + b) dus  8b = 5a  dus  b = 5/8a
8b = h(a + b) geeft dan   8 5/8a = h(a +5/8a)
5a = h 13/8a
h =
40/13
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)