© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.

       
  A ABC ~ DBE
   
AB
9		 BC
 		 AC
6
DB
6		 BE
5		 DE
 
    BC = 9 • 5/6 = 71/2  dus  CE = 21/2
DE = 6 • 6/9 = 4
       
  B. ABC ~ DBE
   
AB
4		 BC
5		 AC
3
DB
 		 BE
8		 DE
 
    BC = 5 volgt uit de stelling van Pythagoras
DB = 4 • 8/5 = 6,4
DE = 3 • 8/5 = 4,8
       
  C AED ~ DFC ~ DCB
   
AE
 		 ED
 		 AD
6
DF
 		 FC
 		 DC
8
DC
8		 CB
6		 DB
10
    DB = 10 met de stelling van Pythagoras.
AE = 6 • 8/10 = 4,8
ED = 6 • 6/10 = 3,6
FC = 8 • 6/10 = 4,8
DF = 8 • 8/10 = 6,4
       
2. a ADE ~  FCE  
   
AD
6 		DE
8		 AE
 
FC
y		 CE
2		 FE
x
 
    y = 2 • 6/12 = 1
AE = 10  met de stelling van Pythagoras
x = 10 • 2/8 = 2,5		  
       
  b. AED ~  ABC  
   
AE
x		 ED
3		 AD
3
AB
x + 2		 BC
5		 AC
y + 3
 
    3(y + 3) = 15  geeft  y = 2
5x = 3(x + 2)  geeft  x = 3		  
       
3. Zie de figuur met de gelijke hoeken hiernaast.

ADE ~ ECB ~ BEA

 
AD
5		 DE
 		 AE
 
EC
3		 CB
5		 EB
√34
BE
√34		 EA
 		 BA
 
       
  EB = √34 volgt uit de stelling van Pythagoras (driehoek ECB). De waarde van EB heb je trouwens helemaal niet nodig.
DE = 5 • 5/3 = 81/3
AB = 3 + 81/3 = 111/3
       
4. a. ∠BAE + ∠ABE = 90º  (driehoek ABE)
∠ABE + ∠DCB = 90º (driehoek BCD
Dus  ∠BAE = ∠DCB
Dus de driehoeken hebben dezelfde hoeken en zijn dus gelijkvormig.

     
  b.
BA
8		 AE
 		 BE
2
BC
 		 CD
 		 BD
4
       
    BC = 8 • 4/2 = 16
Dan is  CD2 = BC2 - BD2 = 256 - 16 = 240
Dus CD = √240
Oppervlakte is  1/2 • 8 • √240 = 2√240 (= 16√15)  		 
       
5. ACB ~ ADC want er zijn twee hoeken gelijk, dus alledrie.
 
AC
x		 CB
6		 AB
8
AD
2		 DC
 		 AC
x
  Stel AC = x dan geldt uit de tabel  x2 = 16  dus  x = 4
Dan is CD = 6 • 4/8 = 3
       
6. Aan de hoeken hiernaast kun je zien dat  ADE ~ ACB ~ GFB

     
 
AD
 		 DE
1		 AE
 
AC
3		 CB
4		 AB
5
GF
1		 FB
 		 GB
 
       
  AD = 1 • 3/4 = 3/4
FB =1 • 4/3 = 4/3
d = 5 - 3/4 - 4/3 - 1 - 1 = 11/12
       
7. AB = 10 en BC = 8, die zijn makkelijk

AE = √(62 + 82) = 10  (Pythagoras in driehoek ADE)
DB = √(102 + 82) = √164  (Pythagoras in driehoek ABD)
DEF ~ BAF  (zandloperfiguur
 
DE
6		 EF
x		 DF
y
BA
10		 AF
10 - x		 BF
√164 - y
  Stel EF = x dan is  AF = 10 - x
uit de tabel volgt:  6(10 - x) = 10x
60 - 6x = 10x
16x = 60
x = 60/16 = 3,75
Dan is  EF = 3,75 en AF = 10 - 3,75 = 6,25

Stel DF = y  dan is  BF = √164 - y
uit de tabel volgt dan  6(√164 - y) = 10y
6√164 = 16y
y = 3/8√164  = 4,80
Dan is  DF = 4,80  en  BF = 8,00
       
8. AC = √(82 + 82) = 8√2
DGA ~ EGC
Als AG = x dan is  CG = 8√2 - x
Als GH = y  dan is GI = 8 - y

 
DG
 		 GA
x		 DA
8		 HG
y
EG
 		 GC
8√2 - x		 EC
6		 GI
8 - y
  8(8√2 - x) = 6x
64√2 = 14x
x = 64/14√2 = AG

8(8 - y) = 6y
64 = 14y
y = 64/14
       
  GF = √((64/14√2)2 + (64/14)2) = √(3072/49) ≈ 7,92
       
9. Noem het snijpunt van CD en AE punt S.

BED ~ BCA
Stel  BE = x dan is  BC = x + 4

 
BE
x		 ED
2		 BD
4
BC
x + 4		 CA
 		 BA
10
  CA = 2 • 10/4 = 5

4(x + 4) = 10x
16 = 6x
x = BE = 16/6 = 22/3		  
     
  ASC ~  ESD  (zandloperfiguur)  
 
AS
5		 SC
3		 AC
5
ES
2		 SD
 		 ED
2
 
  ES = 5 • 2/5 = 2
SD = 3 • 2/5 = 11/5		  
       
10. ABC ~ DAC ~ EDA ~ FED ~ GFE ~  GBF
AD = 4 (3-4-5 Pythagoras)
     
 
AB
20/3		 BC
25/3		 AC
5
DA
4		 AC
5		 DC
3
ED
3,2		 DA
4		 EA
2,4
FE
2,56		 ED
3,2		 FD
1,92
GF
2,048		 FE
2,56		 GE
1,536
GB
1024/375		 BF
256/75		 GF
2,048
       
  AB = 5 • 4/3 = 20/3  en   BC = 5 • 5/3 = 25/3
ED = 4 • 4/5 = 3,2  en  EA = 3 • 4/5 = 2,4
FE = 3,2 • 3,2 /4 = 2,56  en   FD = 2,4 • 3,2/4 = 1,92
GF = 2,56 • 2,56/3,2 = 2,048 en  GE = 1,92 • 2,56/3,4 = 1,536
BF = 2,56 • 2,048/1,536 = 256/75  en  GB = 2,048 • 2,048/1,536 = 1024/375
AE + EG + GB = 2,4 + 1,536 + 1024/375 =  20/3  en dat is inderdaad gelijk aan AB.
CD + DF + FB = 3 + 1,92 + 256/75 = 25/3 en dat is inderdaad gelijk aan BC.
       
11. ABC ~ AFE ~ ACD

     
 
AB
13		 BC
5		 AC
12
AF
5		 FE
 		 AE
 
AC
12		 CD
 		 AD
 
       
  AB = 13  (Pythagoras in driehoek ABC)
AD = 12 • 12/13 = 144/13
AE = 12 • 5/13 = 60/13
DE = AD - AE = 144/13 - 60/13 = 84/13
       
12. a. CBD ~ ACD ~ ABC
   
CB
a		 BD
?		 CD
 
AC
b		 CD
 		 AD
?
AB
c		 BC
a		 AC
b
    AD = b²/c
BD = a²/c		  
       
  b. c = AD + BD =  b²/c + a²/c =  (a² + b²)/c 

Vermenigvuldig met c en je krijgt  c2 = a2 + b2  
       
13. a. BEF ~ BDC  en  CEF ~ CAB
 
   
CE
 		 EF
h		 CF
b
CA
 		 AB
8		 CB
a + b
    8b = h(a + b)
     
   
BE
 		 EF
h		 BF
a
BD
 		 DC
5		 BC
a + b
    5a = h(a + b)  
       
  b. de vergelijkingen zijn beiden gelijk aan  h(a + b) dus  8b = 5a  dus  b = 5/8a
8b = h(a + b) geeft dan   8 • 5/8a = h(a +5/8a)
5a = h • 13/8a
h = 40/13
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)