|
|||||
| 1. | ∠AMD = 90º dus M
ligt op de cirkel met middellijn AD ∠DEA = 90º dus E ligt op de cirkel met middellijn AD Dus liggen M, A, E en D op één cirkel. ∠DEM is de omtrekshoek van koorde MD van die cirkel ∠AEM is de omtrekshoek van koorde MA van die cirkel Omdat de koorden gelijk zijn, zijn de omtrekshoeken ook gelijk. |
|
|||
| 2. | ∠PBA is een rechte
hoek (Thales) ∠QBA is een rechte hoek (Thales) Dan is PBQ een gestrekte hoek, dus liggen P, B en Q op één lijn. |
 |
|||
| 3. |
|
||||
| a. | ∠XBY is een rechte hoek want XY is een middellijn (Thales) | ||||
| b. | ∠AXB is een constante hoek (omtrekshoek van AB). | ||||
| c. | Linkerfiguur: Als ∠XBY en ∠AXB beiden constante hoeken zijn, dan is ∠XPB dat ook (hoekensom driehoek) Maar dan is ∠APB ook een constante hoek (overstaande hoek) voor de rechterfiguur geldt ongeveer hetzelfde (ga zelf maar na) |
||||
| d. | Dus P ligt op een cirkel door A en B. | ||||
| 4. | MP = MQ (straal
cirkel) SQ = SP (S is het midden) SM = SM Dus DMQS is congruent met DMPS (ZZZ) dus ∠MSQ = ∠MSP Maar samen vormen dezen een gestrekte hoek. Dus ∠MSQ = 90º Dan is ook ∠MSC = 90º Dus ligt S op een cirkel met middellijn MC (Thales) |
|
|||
| 5. | a. | ∠ADC = ∠ABC (beiden de omtrekshoek van AC ∠CAD = 90º (want CD is een middellijn) ∠CFB = 90º (want CF is een hoogtelijn) Dus de driehoeken ADC en FBC zijn gelijkvormig (hh) Dus is ∠ACD = ∠FCB = ∠ECB De koorden AD en EB hebben gelijke omtrekshoeken dus zijn gelijk. |
|
||
| b. | ∠CED =
90º want CD is een middellijn ∠CFA = 90º (hoogtelijn) Dus AB // DE (F-hoeken) |
||||
| 6. | ∠ASD
= 90º dus is AD een middellijn van een cirkel waar ook S op ligt (Thales) Maar dan is MS = MD = straal van die cirkel. ∠MDS = ∠MSD (gelijkbenige driehoek) ∠MSD = ∠BSE (overstaande hoeken) Dus ∠MDS = ∠BSE |
|
|||
| 7. |
|
||||
| ∠ACB
= 90º (AB is middelijn cirkel) ∠APE = 90º (AE is middellijn cirkel, want omdat de cirkels elkaar raken liggen hun middelpunten op dezelfde koorde, namelijk die loodrecht op de raaklijn staat) de driehoeken ABC en AEP zijn dan gelijkvormig (hh; rechte hoek plus ∠A)) Dan is ∠MEP = ∠MBC = ∠MBD (uit de vorige gelijkvormigheid) Dan zijn de driehoeken MEP en MBD ook gelijkvormig (hh) EB = 1/3AB en MB = 1/2AB dus ME = 1/3MB (de factor tussen de driehoeken is 1 : 3) Dan is EP = 1/3BD Uit de gelijkvormigheid van AEP en ABC volgt dat AE = 2/3AB, dus EP = 2/3BC (de factor tussen de driehoeken is 2 : 3) 1/3BD = 2/3BC dus BC = 1/2BD |
|||||
| 8. | Teken de omgeschreven cirkel van de driehoek en trek de lijnen door: | ||||
|
|
|||||
| De omtrekshoek van
alle koorden BP, PQ, QR en RC ix gelijk aan x Dan is ∠BRP = x (omtrekshoek BP) en ook ∠RPQ = x (omtekshoek van QR) Maar dan is PR // CB (Z-hoeken) omdat ∠AHB = 90º is dan ook ∠ARP = 90º (F-hoeken) Maar als ∠ARP = 90º dan is AP een middellijn (Thales) Dus Z is het middelpunt van de cirkel. (want ZB = ZC) Dan is ∠BAC = 90º (BC is een middellijn) |
|||||
| 9. | PQ is een middellijn
van c2 De oppervlakte van c2 is π, dus de straal is 1 Dus PQ = 2 PMQ is een rechte hoek (Thales), en MQ = MP MQ2 + MP2 = PQ2 dus 2MP2 = 4 dus MP = MQ = √2 Cirkelsector PMQ van cirkel c1 heeft oppervlakte 0,25 • π • (√2)2 = 0,5π. Driehoek MPQ heeft oppervlakte 0,5 • MP • MQ = 1 Buiten driehoek MPQ ligt nog oppervlakte 0,5π - 1 (van cirkel c1) Het grijze deel is de helft van cirkel c2 min dit
overgebleven deel |
 |
|||
| 10. | Het grensgeval waarin hoek P
recht is, is als P op de halve cirkelboog met middellijn AB valt (Thales). Als de straal van de hele cirkel 2r is, dan is de straal van de cirkel met middellijn AB gelijk aan r De oppervlaktes zijn dan 1/2πr2 en 1/2π(2r)2 = 2πr2 Dus de halve cirkel op AB is 1/4 van het totaal. De kans op een stompe hoek is dan 1/4 |
|
|||
| 11. | Omdat AB een middellijn is is
hoek BCA = 90º In ASC geldt dan sinα = CS/AS ASB en DSC zijn gelijkvormig. De verhouding van de lengten van de driehoeken is dus sinα Dan is de verhouding van de oppervlakten sin2α. qed. |
|
|||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
