|
||||||
| 1. | De omtrek is eerst 2πr De omtrek is na het tussenvoegen van 1 meter gelijk aan 2πr + 1 Dat is gelijk aan 2π • (r + dr) als dr de toename van de straal is. 2πr + 1 = 2π • (r + dr) 2πr + 1 = 2πr + 2πdr 1 = 2πdr dr = 1/2π en dat is dus altijd hetzelfde. |
|||||
| 2. | a. | twee rode halve cirkels: 2π
• 3 = 6π twee rechte blauwe stukken van 30 cm samen 60 + 6π |
 |
|||
| b. | vier halve rode cirkeldelen: 2π • 3 = 6π 2 blauwe stukken van 12 cm: 24 cm 2 blauwe stukken van 6 cm: 12 cm samen 36 + 6π |
|
||||
| c. | drie rode stukken van 1/3
cirkel samen 6π 3 blauwe stukken van 12 cm: 36 cm samen 36 + 6π |
|
||||
| d. | twee rode stukken van 1/3
cirkel( rechtsboven en linksonder), en twee rode stukken van
1/6
cirkel (rechtsonder en linksboven): 6π twee blauwe stukken van 12: 24 cm twee blauwe stukken van 6: 12 cm samen 36 + 6π |
|
||||
| e. | twee rode stukken van 1/4
cirkel (links) 3 rode stukken van 1/6 cirkel (rechts) geeft samen 6π 4 blauwe stukken van 6 cm: 24 cm Voor dat ene blauwe stuk links moet je de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden 2r berekenen (zie de figuur uiterst rechts) h2 = r2 - (0,5r)2 = 3/4r2 dus h = 1/2r√3 Dat blauwe stuk links heeft dan lengte h + 2r = 1/2r√3 + 2r Samen geeft dat 30 + 6π + 11/2√3 |
|
|
|||
| f. | twee rode stukken links en rechts: 2 •
1/3
cirkel dus 4π vier rode stukken boven en onder van 1/1/12 cirkel geeft 2π 6 blauwe stukken van
6 cm geeft 36 cm. |
|
||||
| opmerking: omdat alle rode stukken in de figuren elke keer precies één draaiing over 360º weergeven (de band gaat één keer rond) zijn die stukken steeds samen één cirkel, dus 6π. Als je je dat bedenkt gaat het allemaal wat sneller. | ||||||
| 3. | steeds 1 meter vanaf
Q geeft een cirkel met middelpunt Q en straal 1. steeds 1 meter vanaf R geeft een cirkel met straal 1 en middelpunt R. Het jongetje moet de rode route hiernaast lopen. De twee kwartcirkels hebben samen lengte 2 • 1/4 • 2π • 1 = π het rechte verbindingsdeel heeft lengte 1 samen is dat π + 1. |
 |
||||
| 4. | a. | Pythagoras in
ΔMBC geeft MC = √(42+42)
= √32 De hele cirkel heeft omtrek 2πr = 2π•√32 dus CD = 0.25 •2π•√32 = 8,89 m ofwel 889 cm. |
||||
| b. | Teken
ΔMEF
en noem G het midden van EF. Dan is MG = 5 m ME is de straal van de cirkel dus ME = √32 Pythagoras geeft EG = √(32 - 25) = √7 = 5,29 m ofwel 529 cm. |
|||||
| 5. | a. | eerste route heeft
lengte 2 • 40 = 80 meter tweede route is 150/360 = 5/12 deel van een cirkel de route is dan 5/12 • 2 • π • 40 = 331/3π = 104,72 meter Dat scheelt 24,72 meter en dat is 24,72/80 • 100% = 31% langer |
||||
| b. | Stel dat het
cirkelstuk PQ een xe deel van de hele cirkel is. De tweede route is 80 meter als x • 2 • π • 40 = 80 dan is x = 1/π dus dan is de hoek 360/π = 114,6º Voor hoeken kleiner dan 114,6º is de route langs de rand korter. |
|||||
| 6. | a. | Omtrek van de hele cirkel om
Mars: 2p • 78000000 ≈ 490.000.000 km Afstand Aarde - Maan: 385.000 km Dat is dan 385000/490.088.454 = 0,00078ste deel |
 |
|||
| b. | 1 minuut is 1/(360
• 60) = 0,000046ste deel Dus dat is 0,00078/0,000046 ≈ 17 minuten Dus JA: het is mogelijk dat een astronaut op Mars de Aarde en de Maan met het blote oog onderscheidt. |
|||||
| 7. | De omtrek is 2π,
en de cirkel draait dus 5,5 keer rond. Dat is hetzelfde als 0,5 keer, dus dat is plaatje C. |
|||||
| 8. | de helft van een
cirkel met straal 2 heeft lengte 2π twee zulke stukken samen dus 4π een kwart van een cirkel met straal 4 heeft lengte 2π Een gebied heeft dus omtrek 6π |
|||||
| 9. | De baan bestaat uit 6
(rode) rechte stukken van 1 cm plus 6 cirkeldelen van elk 60º. Die
cirkeldelen zijn dus precies de omtrek van een cirkel met straal 0,5,
dus samen gelijk aan
π. De totale baan heeft dan lengte 6 + π |
|
||||
| 10. | De uurwijzer legt 90º
af , dus een kwart van een cirkel met omtrek 8π.
Dat is 2π cm De minutenwijzer draait 3 cirkels met straal 8 cm en omtrek 16π. Dat is 48π De verhouding is 1 : 24 |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||
