|
|||||
| 1. | a. | met de
afgeleide: 2yy' - 2y' - 6 = 0 dus y' = 6/(2y - 2) y = 7 geeft y' = 1/2 y = 7 geeft 49 - 14 - 6x - 23 = 0 dus x = 2 7 = 1/2 • 2 + b geeft b = 6 de raaklijn is y = 1/2x + 6 discriminantmethode: y2 - 2y - 6x - 23 = 0 (y - 1)2 = 6(x + 4) Schuif hem 4 naar rechts en 1 omlaag: y2 = 6x dus c = 11/2 en het raakpunt is dan (6, 6) ab = 11/2 dus dan geldt 6 = a • 6 + 1,5/a Dat geeft 6a = 6a2 + 11/2 ⇒ 6a2 - 6a + 11/2 = 0 ⇒ a = 1/2 ⇒ b = 3 De raaklijn y = 1/2x + 3 moet weer 4 naar links en 1 omhoog geschoven worden: (y - 1) = 1/2(x + 4) + 3 y = 1/2x + 2 + 3 + 1 ⇒ y = 1/2x + 6 met de raaklijneigenschap. (y - 1)2 = 6(x + 4) P = (2, 7), T = (-4, 1) dus Q = (-4, 4) PQ: a = 3/6 = 1/2 en 7 = 1/2 • 2 + b geeft dan b = 6 |
|||
| b. | met de
afgeleide: 4yy' + 16 = 0 dus y' = -4/y y = 8 geeft dan y ' = - 1/2 y = 8 geeft 2 • 64 + 16x - 32 = 0 dus x = -6 8 = -1/2 • -6 + b geeft b = 5 de raaklijn is de lijn y = -1/2x + 5 discriminantmethode: 2y2 + 16x - 32 = 0 y2 = -8x + 16 y2 = -8(x - 2) Schuif hem 2 naar links, dan is de formule y2 = -8x dus c = -2 en het raakpunt wordt (-8, 8) ab = -2 dus dan geldt: 8 = a • -8 + -2/a Dat geeft 8a = -8a2 - 2 8a2 + 8a + 2 = 0 ⇒ a = -1/2 ⇒ b = 4 De raaklijn y = -1/2x + 4 moet weer 2 naar rechts worden geschoven Dat geeft y = -1/2(x - 2) + 4 = -1/2x + 5 met de raaklijneigenschap. y2 = -8(x - 2) P = (-6, 8) T = (2, 0) dus Q = (2, 4) PQ: a = 4/-8 = -1/2 en 8 = -1/2 • -6 + b geeft b = 5. |
||||
| c. | met de
afgeleide: -6yy' - 18y' - 2 = 0 dus y ' = 2/(-6y - 18) y = 1 geeft y ' = -1/12 y = 1 geeft -3 - 18 - 2x - 17 = 0 dus x = -19 1 = -1/12 • -19 + b geeft b = -7/12 De raaklijn is de lijn y = -1/12x - 7/12 discriminantmethode: -3y2 - 18y - 2x -17 = 0 y2 + 6y + 2/3x + 17/3 = 0 y2 + 6y + 9 - 9 = -2/3x - 17/3 (y + 3)2 = -2/3(x - 5) Schuif deze parabool 3 omhoog en 5 naar links en je hebt y2 = -2/3x met raakpunt (-24, 4) ab = -1/6 dus 4 = -24 • a + -1/6a Dat geeft 24a = -144a2 - 1 144a2 + 24a + 1 = 0 ⇒ a = -1/12 ⇒ b = 2 De raaklijn y = -1/12x + 2 moet weer 3 omlaag en 5 naar rechts geschoven worden Dat geeft (y + 3) = -1/12(x - 5) + 2 ⇒ y = -1/12x - 7/12 met de raaklijneigenschap. (y + 3)2 = -2/3(x - 5) P = (-19, 1) T = (5, -3) dus Q = (5, -1) PQ: a = 2/-24 = -1/12 en 1 = -1/12 • -19 + b geeft dan b = -7/12 |
||||
| 2. | x2 = 4cy
en y = ax + b geeft x2
= 4c(ax + b) x2 - 4cax - 4cb = 0 één oplossing als 16c2a2 + 4(4cb) = 0 16c2a2 + 16cb = 0 ca2 + b = 0 |
||||
| 3. | a. | De helling van de
parabool moet dan gelijk zijn aan -1/2 2yy' = -8 ⇒ y' = -8/2y = -1/2 dus y = 8 dat geeft 8x = -64 dus x = -8 invullen: 8 = 2 • -8 + b ⇒ b = 24 |
|||
| b. | De helling van de parabool is
0,4. 2yy' + 2y' = 4 y' = 4/(2 + 2y) = 2/(1 + y) = 0,4 1 + y = 5 geeft y = 4 16 + 8 = 4x + 12 ⇒ x = 3 4 = 0,4 • 3 + b ⇒ b = 2,8 |
||||
| 4. | de helling van de
parabool is -0,8 2yy' = a ⇒ y' = a/2y = -0,8 dan is -5/8a = y y = -0,8x + 4 dus x = -5/4y + 5 y2 = ax geeft dan (-5/8a)2 = a(-5/4 • -5/8a + 5) 25/64a2 - 25/32a2 - 5a = 0 a(-25/64a - 5) = 0 a = 0 ∨ a = -12,8 en die laatste is de gezochte oplossing. |
||||
| 5. | a. | 2yy'
= 10 dus y ' = 5/y in (21/2, 5) is de helling 5/5 = 1 AP is de lijn y = x + 21/2 en snijdt de x-as in A(-21/2, 0) PB is de lijn y = -x + 71/2 en snijdt de x-as in B (71/2, 0) AB = 10 |
|||
| b. | Neem een willekeurig
punt P(xP, yP) De helling van de parabool in P is dan a = 5/yP Loodrecht daarop staat de lijn met helling -yP/5 = -0,2yP yP = -0,2yP • xP + b geeft b = yP + 0,2yP• xP De loodrechte lijn is de lijn y = -0,2yP • x + yP + 0,2yPxP Snijpunt x-as: 0 = -0,2yP • x + yP + 0,2yPxP x = (yP + 0,2yPxP)/0,2yP x = 5 + xP dus dat klopt inderdaad voor elk punt P |
||||
| 6. | y2
= 32x en y2 + 8x - 80 = 0
geeft 32x + 8x - 80 = 0 40x = 80 x = 2 en dan is y = 8 y2 = 32x geeft 2yy' = 32 dus in (2, 8) is y ' = 2 y2 + 8x - 80 = 0 geeft 2yy' + 8 = 0 dus in (2, 8) is y ' = -1/2 2 • -1/2 = -1 dus de parabolen staan inderdaad loodrecht op elkaar in (2, 8) |
||||
| 7. | a. | (x - 7)2 = 6x
- 15 x2 - 14x + 49 = 6x - 15 x2 - 20x + 64 = 0 (x - 16)(x - 4) = 0 x = 16 ∨ x = 4 Dat geeft de snijpunten (16, 81) en (4, 9) |
|||
| b. | met de
afgeleide a2x2 = 6x - 15 y2 = 6x - 15 ⇒ 2yy' = 6 dus y ' = 3/y gelijke hellingen betekent a = 3/y dan is a2 = 9/y2 = 9/(6x - 15) invullen in de eerste vergelijking: 9/(6x - 15) • x2 = 6x - 15 9x2 = (6x - 15)2 9x2 = 36x2 - 180x + 225 0 = 27x2 - 180x + 225 x = 5 ∨ x = 5/3 x = 5 geeft raakpunt (5, ±√15) en helling a = ± 1/5√15 x = 5/3 geeft geen raakpunt. discriminantmethode: a2x2 = 6x - 15 a2x2 - 6x + 15 = 0 discriminant nul: 36 - 60a2 = 0 a2 = 0,6 a = ±√0,6 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||