|
|||||
| 1. | x2 +
y2 + 2x + y - 16 = 0 Vul M(-2, -10) in: 4 + 100 - 4 - 10 - 16 = 74 dus die cirkel heeft straal √74. Met middelpunt (-2, -10) geeft dat de vergelijking (x + 2)2 + (y +10)2 = 74 |
||||
| 2. | x2
+ y2 - 2x + 2y = 18 x2 - 2x + 1 - 1 + y2 + 2y + 1 - 1 = 18 (x - 1)2 + (y + 1)2 = 20 De cirkel heeft middelpunt M(1, -1) en straal √20 macht van M tov de andere cirkel: 12 + (-1)2 - 16 • 1 + 34 = 20 en dat is inderdaad r2 |
||||
| 3. | Stel het middelpunt
(0, m) De macht t.o.v. de andere cirkel moet gelijk zijn aan 102 = 100 02 + m2 + 12 • 0 - 3m + 12 = 100 m2 - 3m - 88 = 0 (m - 11)(m + 8) = 0 m = 11 ∨ m = -8 Dat geeft mogelijke middelpunten (0, 11) en (0, -8) |
||||
| 4. | De oranje hoeken zijn
gelijk: beiden omtrekshoek van koorde BD. De groene hoeken zijn gelijk: overstaande hoeken. Dus de driehoeken APD en CPB zijn gelijkvormig AP/PD = CP/PB AP • PB = CP • PD AP • PB = (r + PM) • (r - PM) AP • PB = r2 - PM2 Dat is inderdaad de macht van P, maar dan negatief. |
|
|||
| 5. | AM • MS = macht van M
t.o.v. de linkercirkel = MB2 AM = 9 MS = 4 (straal cirkel) 9 • 4 = 36 = MB2 MB = 6 |
|
|||
| 6. | P heeft macht 4
t.o.v. c1 dus P ligt op de cirkel
x2 + y2 = 12 + 4 = 14 x2 + y2 + 6x = 10 x2 + 6x + 9 - 9 + y2 = 10 (x + 3)2 + y2 = 19 P heeft macht 6 t.o.v. c2 dus P ligt op de cirkel (x + 3)2 + y2 = 19 + 6 = 25 Dat is de cirkel x2 + 6x + y2 = 16 Snijden van beide cirkels: 14 + 6x = 16 6x = 2 ⇒ x = 1/3 (1/3)2 + y2 = 14 ⇒ y2 = 125/9 ⇒ y = ±5/3√5 |
||||
| 7. | a | m12
staat loodrecht op M1M2 m23 staat loodrecht op M2M3 m13 staat loodrecht op M1M3 Als M1, M2 en M3 niet op één lijn liggen, dan hebben M1M2, M2M3 en M1M3 verschillende richtingen Dus hebben m12 en m23 en m13 óók verschillende richtingen, want die staan er loodrecht op. Als de machtlijnen verschillende richtingen hebben moeten ze elkaar wel snijden. |
|||
| b. | P ligt op m12
dus de macht van P tov c1 is gelijk aan de
macht van P tov c2 P ligt op m13 dus de macht van P tov c1 is gelijk aan de macht van P tov c3 Als de macht van P tov c1 aan twee dingen gelijk is, dan moeten die ook wel gelijk zijn aan elkaar Dus de macht van P tov c2 is gelijk aan de macht van P tov c3 Dus P ligt op m23 |
||||
| c. |
|
||||
| c3
is willekeurig m13 gaat door de snijpunten van c1 en c3 m23 gaat door de snijpunten van c2 en c3 De stelling zegt dat m12 dan door het snijpunt P van die beide machtlijnen moet gaan Verder is bekend dat m12 loodrecht staat op M1M2. Dus m12 is te tekenen: de groene lijn. |
|||||
| d. | Neem de cirkels met middellijnen
AC en BC. Stel dat die elkaar behalve in C ook in S snijden. ∠ASC = 90º (Thales: AC is een middellijn) ∠BSC = 90º (Thales: BC is een middellijn) Dus S ligt op de zijde AB maakt hoeken van 90º met AB, dus CS is de hoogtelijn vanuit C. De machtslijn van twee cirkels is dus de hoogtelijn van de derde zijde. Dus als de machtslijnen van de drie cirkels zijn de drie hoogtelijnen van de driehoek. Volgens de stelling gaan die door één punt. |
 |
|||
| 8. | Stel dat de straal
van de te tekenen cirkel gelijk is aan r en het middelpunt M Dan is de macht van M t.o.v. c2 gelijk aan r2 en de macht van M t.o.v. c2 is ook r2 (vanwege het loodrecht snijden) Als die machten gelijk zijn, dan ligt M op de machtslijn van beide cirkels. Dat is de lijn 4x - 2y + 1 = 0 De cirkel gaat door A en moet c1 loodrecht snijden, dus de beide raaklijnen staan loodrecht op elkaar, dus ook MA en M1A staan loodrecht op elkaar. Als MA loodrecht op M1A staat, is MA de raaklijn aan c1 in A. x2 + y2 = 13 geeft afgeleide 2x + 2yy' = 0 dus y ' = -x/y en in A is dat y' = -2/3 De raaklijn is dus y = -2/3x + 41/3 Invullen in de machtslijn: 4x - 2(-2/3x + 41/3) + 1 = 0 4x + 4/3x - 82/3 + 1 = 0 51/3x = 72/3 16x = 23 ⇒ x = 23/16 en dat geeft y = 27/8 r = MA = √((9/16)2 + (-3/8)2) = √(117/256) = 1/16√117 de cirkel is dan (x - 23/16)2 + (y - 27/8)2 = 117/256 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
