h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. x3 + y3 = 3xy

punt (y, x)  geeft  y3 + x3 = 3yx  en dat is inderdaad dezelfde vergelijking als die van K.
       
2.  y3x = 8 - 6y2

punt (-x, -y) geeft:
(-y)3 -x = 8 - 6(-y)2
-y3 -x = 8 - 6y2
y3x = 8 - 6y2  en dat is inderdaad dezelfde vergelijking als die van K.
       
3. 2x3 + 2xy2 - 8xy + y2 - 3x2 + 8x - 4y + 4 = 0

punt  (x, 2 - y) geeft:
2x3 + 2x(2 - y)2 - 8x(2 - y) + (2 - y)2 - 3x2 + 8x - 4(2 - y) + 4 = 0
2x3 + 2x(4 - 4y + y2) - 16x + 8xy + 4 - 4y + y2 - 3x2 + 8x - 8 + 4y + 4 = 0
2x3 + 8x - 8xy + 2xy2 - 2xy3 - 16x + 8xy + 4 - 4y + y2 - 3x2 + 8x - 8 + 4y + 4 = 0
2x3 + 2xy2  + y2 - 3x2 = 0

punt  (x, 2 + y) geeft:
2x3 + 2x(2 + y)2 - 8x(2 + y) + (2 + y)2 - 3x2 + 8x - 4(2 + y) + 4 = 0
2x3 + 2x(4 + 4y + y2) - 16x - 8xy + 4 + 4y + y2 - 3x2 + 8x - 8 - 4y + 4 = 0
2x3 + 8x + 8xy + 2xy2 - 16x - 8xy + 4 + 4y + y2 - 3x2 + 8x - 8 - 4y + 4 = 0
2x3 + 2xy2 + y2 - 3x2 = 0

Dat zijn dezelfde vergelijkingen dus is de kromme symmetrisch ten opzichte van de lijn  y = 2

       
4. x4 - 4x3 + 5x2 - 2x + y2 - 6y + 9 = 0

punt  (1 - a, 3 - b) geeft:
(1 - a)4 - 4(1 - a)3 + 5(1 - a)2 - 2(1 - a) + (3 - b)2 - 6(3 - b) + 9 = 0
1 - 4a + 6a2 - 4a3 + a4 - 4(1 - 3a + 3a2 - a3) + 5(1 - 2a + a2) - 2 + 2a + 9 - 6b + b2 - 18 + 6b + 9 = 0
1 - 4a + 6a2 - 4a3 + a4 - 4 + 12a - 12a2 + 4a3 + 5 - 10a + 5a2 - 2 + 2a + 9 - 6b + b2 - 18 + 6b + 9 = 0
a4  - a2 + 18  + b2 = 0

punt  (1 + a, 3 + b) geeft:
(1 + a)4 - 4(1 + a)3 + 5(1 + a)2 - 2(1 + a) + (3 + b)2 - 6(3 + b) + 9 = 0
1 + 4a + 6a2 + 4a3 + a4 - 4(1 + 3a + 3a2 + a3) + 5(1 + 2a + a2) - 2 - 2a + 9 + 6b + b2 - 18 - 6b + 9 = 0
1 + 4a + 6a2 + 4a3 + a4 - 4 - 12a - 12a2 - 4a3 + 5 + 10a + 5a2 - 2 - 2a + 9 + 6b + b2 - 18 - 6b + 9 = 0
a4  - a2 + 18  + b2 = 0

Dat zijn dezelfde vergelijkingen dus is de kromme symmetrisch ten opzichte van (1, 3)
       
5. a. x2y - xy2 = 2

punt (-y, -x) invullen:
(-x)2 -y - -x (-y)2 = 0
-x2y + xy2 = 0
x2y - xy2 = 0
Dat is de oorspronkelijke vergelijking weer, dus de kromme is symmetrisch ten opzichte van de lijn y = -x
       
  b. delen door x2 :   y - y2/x = 2/x2
Als x naar oneindig gaat, gaat y naar nul dus  y = 0 is verticale asymptoot

delen door y2x2/y - x = 2/y2
Als y naar oneindig gaat, gaat x naar nul dus  x = 0 is horizontale asymptoot
       
  c. Een lijn door de oorsprong is  y = ax
Snijden met de kromme:    x2 ax - x (ax)2 = 2
ax3 - a2x3 = 2
x3 (a- a2) = 2
x3 = 2/(a- a)
Dat heeft altijd een oplossing, behalve als  a - a2 = 0
a(1 - a) = 0
a = 0 ∨ a = 1
De lijnen  y = 0 en y = x hebben geen punt met K gemeenschappelijk.
       
6. a. (x + y)2 = 2(x - y).

x = 0  geeft  y2 = -2y
y
(y + 2) = 0  ⇒  y = 0  ∨   y = -2  dus de snijpunten  (0, 0) en (0, -2)

y = 0  geeft  x2 = 2x
x
(x - 2) = 0   ⇒  x = 0  ∨   x = 2  dus de snijpunten  (0, 0) en (2, 0)
       
  b. (x + y)2 = 2(x - y).
x2 + 2xy + y2 = 2x - 2y

delen door x2 :   1 + 2y/x + y/x = 2/x - 2y/x
als x naar oneindig gaat geeft dat geen horizontale asymptoot.

delen door y2 geeft hetzelfde resultaat
       
  c.
       
  d. K lijkt symmetrisch in de lijn  y = -x
Punt  (-y, -x) invullen:
(-y + -x)2 = 2(-y - -x)
(-(y + x))2 = 2(-y + x)
(x + y)2 = 2(x - y)
Dat is de oorspronkelijke vergelijking weer, dus de kromme is symmetrisch ten opzichte van de lijn y = -x
       
7. symmetrisch in de x-as betekent dat  (x, -y) de oorspronkelijke vergelijking weer oplevert.
symmetrisch in de y-as betekent dat  (-x, y) dezelfde vergelijking oplevert.
Als je dat na elkaar doet, dan levert dat dus nog steeds dezelfde vergelijking op.
Dat na elkaar doen geeft  dus dat (-x, -y) dezelfde vergelijking oplevert, dus is de kromme symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
       
8. a. x3 - 4x2 + 4x + y2 = 16.

punt  (x, -y) invullen:
x3 - 4x2 + 4x + (-y)2 = 16
dat is de oorspronkelijke vergelijking weer, dus de x-as is symmetrieas.
     
  b. y2 = 16 - x3 + 4x2 - 4x
Als y moet bestaan moet dat groter of gelijk aan nul zijn.
16 - x3 + 4x2 - 4x  0
plot  Y1 = 16 - X^3 + 4X^2 - 4X
calc - zero geeft  x = 4
x kan waarden kleiner of gelijk aan 4 aannemen
Zie de kromme hiernaast.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)