(h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. x'  = 1 - 4sin(4t)  dus  x'(1/3π) = 1 + 2√3
y '  = -sint  dus  y ' (1/3π) = -1/2√3

v = √((1 + 2√3)2 + (1/2√3)2)
= √(1 + 4√3 + 12 + 3/4)
= √(133/4 + 4√3)  
       
  b. Y1 = √( (1 - 4sin(4X))^2 + (sin(X))^2)
calc - maximum geeft  maximale snelheid 5,10
       
  c.
    De GR geeft L = 8,69  
       
2. a. x' = -3sint + 3sin(3t)
y' = 3cost - 3cos(3t)

Y1 = √((-3sin(X) + 3sin(3X))^2 + (3cos(X) - 3cos(3X))^2)
calc - f(x)dx  voor X = 0 tot X = 2π  geeft  L = 24  
       
  b. v2 =  x' 2 + y' 2
=  (-3sint + 3sin(3t))2 + (3cost - 3cos(3t))2
= 9sin2t - 18sintsin(3t) + 9sin2(3t)  + 9cos2t - 18costcos(3t) + 9cos2(3t)

Maar sin2α + cos2α = 1, dat geeft:

v2 = 9 + 9 - 18(sintsin3t + costcos3t)
= 18 - 18cos2t               want   sinαsinβ + cosαcosβ = cos(α - β)
= 18 - 18(1 - 2sin2t)
= 18 - 18 + 36sin2t
= 36sin2t

Dus v =√(36sin2t) = 6 |sint|  
       
  c. Bereken de integraal van 0 tot π, daar is sinx positief en kunnen die absolute-waarde strepen weg:
     
    De hele lengte is dan het dubbele daarvan:  24.  
       
3. x '  = -2sint
y '
= cost

Y1 = √((-2sin(X))^2 + (cos(X))^2)
calc - f(x)dx  voor X = 0 tot X = 2π  geeft  L = 9,688
       
4. x ' = 2cos2t
y
' = cos(t - π/3)  
Y1 = √( (2cos(2X))^2 + (cos(X - π/3))^2)
calc - f(x)dx  voor X = 0 tot X = 2π  geeft  L = 9,34
       
5. a. y(t) = cos 2t = 0
2t = 1/2π + k2π  ∨   2t = 3/2π + k2π
t =
1/4π , 3/4π
Dat geeft de punten  (0.58, 0) en  (-0.67, 0)
B = (-0.67, 0) en hoort bij t = 3/4π

x'   =  2t cos(t2)
y '  =  -2sin(2t)
v(
3/4π) = ( (2 3/4π cos((3/4π)2))2  + (-2sin(23/4π))2)  = 4,04 
       
  b. Y1 = √((2Xcos(X^2))^2 + (-2sin(2X))^2)
calc - f(x)dx  voor X = 1/4π tot X =  3/4π  geeft  L = 3,73
       
6. a. 1 + cos 4t = 1
cos4t = 0
4t = 1/2π + k2π ∨  4t = 3/2π + k2π
t =
1/8π, 3/8π, 5/8π,  7/8π
A  hoort bij t = 7/8π en is het punt  (-0.92, 1)

x ' = -sint
y
' = -4sin(4t)
v = √( (sin( 7/8π)2 + (4sin( 28/8π))2 )  = 4,02
       
  b. Y1 = √( (sin(X))^2 + (4sin(4X))^2 )
calc - f(x)dx  voor X =  5/8π tot X =  7/8π  geeft  L = 2,11
       
7. a. Zie de figuur hiernaast, met enkele t-waarden aangegeven.
Geschikte waarden zijn bijv.  a = -1/2πb = 1/2π

 

     
  b. x ' = 3cos(3t)  en  y ' = -2sin(2t)
Dat geeft  v = √(9cos2(3t) + 4sin2(2t))  

x-as:  y = 0
cos 2t = 0
2t = 1/2π + k2π  ∨  2t = 3/2π + k2π
t
= 1/4π, -1/4π
Dat geeft  beiden  v = √(8,5) ≈ 2,92
       
    y-as:  x = 0
sin(3t) = 0
3t = 0 + k2π ∨  3t = π + k2π
t = -1/3π, 0, 1/3π
t = 1/3π  geeft  v = √12 ≈ 3,46
t = 0 geeft  v = 3
 
       
  c. Y1 = √(9(cos(3X))^2 + 4(sin(2X))^2)
calc - maximum geeft maximale snelheid  3,48 (bij t ≈ -1 en t ≈ 1)
       
  d. Y1 = √(9(cos(3X))^2 + 4(sin(2X))^2)
calc - f(x)dx  voor X = - 1/2π tot X =  1/2π  geeft  L = 7,60
       
8. a. sin(3t)   ?=?   3sint - 4sin3t
sin(2t + t)  ?=?   3sint - 4sin3t
sin2tcost + cos2tsin?=?   3sint - 4sin3t
2sintcost cost + (1 - 2sin2t) sint  ?=?   3sint - 4sin3t
2sintcos2t + sint - 2sin3t  ?=?   3sint - 4sin3t
2sint(1 - sin2t) + sint - 2sin3t  ?=?   3sint - 4sin3t
2sint - 2sin3t + sint - 2sin3t  ?=?   3sint - 4sin3t
3sint - 4sin3?=?   3sint - 4sin3t
q.e.d.
       
  b. f '(x) = 3 - 12x2   en x zit tussen -1 en 1.  
   
    Y1 = √(1 + (3 - 12X^2)^2)
calc - f(x)dx  voor X = -1 tot X = 1  geeft  L = 6,5186
       
  c. x' = cost
y
' = 3cos(3t)
Y1 = √((cos(X))^2 + (3cos(3X))^2)
calc - f(x)dx  voor X = -1/2π tot X = 1/2π  geeft  L = 6,5186
       
9. a. raaklijn horizontaal, dan is  y' (t)= 0
y'(t) = 2cos2t = 0 
⇒  cos2t = 0 
⇒  2t = 1/2π + k2π  ∨  2t = 11/2π + k 2π
⇒  t = 1/4π + k π  ∨  t = 3/4π + k π
tussen 0 en 2p geeft dat de oplossingen  t = 1/4π, 3/4π,  11/4π,  13/4π
dat geeft respectievelijk de punten  (√2, 1) en (-√2, -1) en (-√2, 1) en (√2, -1)
De horizontale afstand is dan 2√2 en de verticale is 2
De oppervlakte is dan 2 2√2 = 4√2.
       
  b. y = 0,5 
⇒  sin2t = 0,5
⇒  2t = 1/6π + k 2π  ∨  2t = 5/6π + k 2π.
⇒  t = 1/12π + k π  ∨  t = 5/12π + k π
tussen 0 en 2π geeft dat de oplossingen  1/12π5/12π,  11/12π,  15/12π
dat geeft resp.:  x = 1.93,  x = 0.52,  x = -1,93  en  x = -0,52
de positieve oplossingen zijn  x = 0,52 en x = 1,93 en de afstand daartussen is ongeveer 1,4
       
  c.
    Voer in  Y1 = ((-2sin(X))^2+(2cos(2X))^2)
calc - integraal   met grenzen 0 en 2
π geeft lengte ongeveer  12,2
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)