|
|||||
| 1. | sin2(2t)
?=? 2•2sin2(t) - (2sin2(t)
)2 (2sintcost)2 ?=? 4sin2t - 4sin4t 4sin2t • cos2t ?=? 4sin2t - 4sin4t 4sin2t • (1 - sin2t) ?=? 4sin2t - 4sin4t 4sin2t - 4sin4t ?=? 4sin2t - 4sin4t q.e.d. |
||||
| 2. | x = 2t
- 4 2t = x + 4 t = 1/2x + 2 y = t2 + t = (1/2x + 2)2 + (1/2x + 2) y = 1/4x2 + 2x + 4 + 1/2x + 2 y = 1/4x2 + 21/2x + 6 |
||||
| 3. | sin(3t)
?=? 3sint - 4sin3t sin(2t + t) ?=? 3sint - 4sin3t sin2tcost + cos2tsint ?=? 3sint - 4sin3t 2sintcost • cost + (1 - 2sin2t)• sint ?=? 3sint - 4sin3t 2sintcos2t + sint - 2sin3t ?=? 3sint - 4sin3t 2sint(1 - sin2t) + sint - 2sin3t ?=? 3sint - 4sin3t 2sint - 2sin3t + sint - 2sin3t ?=? 3sint - 4sin3t 3sint - 4sin3t ?=? 3sint - 4sin3t q.e.d. |
||||
| 4. | x = 3/(t
- 1) t - 1 = 3/x t = 1 + 3/x y = √t = √(1 + 3/x) |
||||
| 5. | sin(2t)
?=? 2sin2(t +
1/4π)
- 1 2sintcost ?=? 2(sintcos1/4π + costsin1/4π)2 - 1 2sintcost ?=? 2(1/2sin2t + sintcost + 1/2cos2t) - 1 (want sin1/4π = cos1/4π = √1/2) 2sintcost ?=? sin2t + 2sintcost + cos2t - 1 2sintcost ?=? 1 + 2sintcost - 1 2sintcost ?=? 2sintcost q.e.d. |
||||
| 6. |
 |
||||
| omdat x = cos2t geldt dus y = 4 - 4x | |||||
| (je kunt hem ook plotten en de vergelijking raden, en dan het bewijs als hierboven leveren) | |||||
| 7. | a. | x' = cos(t - 0,25π)
= 0 t - 0,25π = 1/2π ∨ t - 0,25π = 3/2π t = 3/4π ∨ t = 7/4π y ' = 2cos2t = 0 2t = 1/2π + k2π ∨ 2t = 3/2π + k2π t = 1/4π + kπ ∨ t = 3/4π + kπ De keerpunten zijn t = 3/4π en t = 7/4π Die hebben coördinaten (1, -1) en (-1, -1) |
 |
||
| b. | Neem de waarden tussen de keerpunten, dus a = 3/4π en b = 7/4π | ||||
| c. | Het lijkt een
parabool met top (0, 1) dus q = 1 Die moet door bijv. (1, -1) gaan dus -1 = p • 12 + 1 en dat geeft p = -2 Dat wordt dus y = -2x2 + 1 |
||||
| d. | sin 2t
?=? -2(sin (t - 0,25π))2
+ 1 sin 2t ?=? -2(sintcos(0,25π) - costsin(0,25π))2 + 1 sin 2t ?=? -2(1/2sin2t - 2sintcost • 1/2 + 1/2cos2t) + 1 want cos(0,25π) = sin(0,25π) = √1/2 sin 2t ?=? -sin2t + 2sintcost - cos2t + 1 sin 2t ?=? -(sin2t + cos2t) + 2sintcost + 1 2sintcost ?=? -1 + 2sintcost + 1 2sintcost ?=? 2sintcost q.e.d. |
||||
| 8. | Het lijkt de parabool
y = 1/2x2
- 1 sin(2t - 1/2π) ?=? 1/2(2sint)2 - 1 maar sin(α - 1/2π) = -sin(1/2π - α) = -cosα, dus: -cos2t ?=? 2sin2t - 1 cos2t ?=? 1 - 2sin2t q.e.d. |
 |
|||
| 9. | sin22t
?=? 4sin2t - 4sin4t (2sintcost)2 ?=? 4sin2t - 4sin4t 4sin2tcos2t ?=? 4sin2t - 4sin4t 4sin2t (1 - sin2t) ?=? 4sin2t - 4sin4t 4sin2t - 4sin4t ?=? 4sin2t - 4sin4t q.e.d. |
||||
| 10. | a. | sin2 2t
?=? 1 - 4sin2(t - 0,25π)
+ 4sin4(t - 0,25π) sin22t ?=? (1 - 2sin2(t - 1/4π))2 sin22t ?=? (1 - 2 • (sintcos1/4π - costsin1/4π)2 )2 want sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin22t ?=? (1 - 2 • (1/2sin2t - 2sintcost • 1/2 + 1/2cos2t))2 want cos1/4π = sin1/4π = √1/2 sin22t ?=? (1 - (sin2t - 2sintcost + cos2t))2 sin22t ?=? (1 - (1 - 2sintcost))2 want sin2t + cos2t = 1 sin22t ?=? (2sintcost)2 sin22t ?=? sin22t q.e.d. |
|||
| b. |
 |
||||
| c. | x' =
cos(t - 0,25π) y ' = 4sin2tcos2t v = √(x'2 + y'2) Plot Y1 = √((cos(X-0,25π)^2 + (4sin(2X)cos(2X))^2) calc - maximum geeft dan 2,20 cm/s (voor t = 1,17 en t = 0,40) |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||