Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

x = t - ²/_t = 0
t² - 2 = 0
t = √2 ∨ t = -√2
Dat geeft de punten (0, -√2) en (0, √2)

y = t³ - 3t = 0
t(t² - 3) = 0
t = 0 ∨ t = √3 ∨ t = -√3
Dat geeft de punten (¹/₃√3, 0) en (-¹/₃√3, 0)

Als je t door -t vervangt, wordt x tegengesteld, en y ook, dus gaat het punt (x, y) over in (-x, -y)
Dat betekent dat de kromme symmetrisch is in (0, 0)

Als t naar 0 gaat, gaat x naar ±¥ en y naar 0, dus is de lijn y = 0 horizontale asymptoot.

y' = 3t² - 3 = 0
t² = 1
t = 1 ∨ t = -1
Dat geeft de punten (-1, -2) en (1, 2)

x = 1 geeft t - ²/_t = 1
t² - 2 = t
t² - t - 2 = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t = 2 ∨ t = -1
t = 2 geeft inderdaad weer het punt (1, 2) net zoals t = -1, dus de kromme snijdt zichzelf daar.

x = -1 geeft t - ²/_t = -1
t² - 2 = -t
t² + t - 2 = 0
(t + 2)(t - 1) = 0
t = -2 ∨ t = 1
t = -2 geeft inderdaad weer het punt (-1, -2) net zoals t = 1, dus de kromme snijdt zichzelf daar.

y' = 3t² - 3
x ' = 1 + 2t^-2 = 1 + ²/_t_² = ^{(t² + 2)}/_t²
de helling is y '/x' =^{(3t² - 3)t²}/_{(t² + 2)} = 1,5
(3t² - 3)t² = 1,5(t² + 2)
noem t² = p, dan staat er
3p² - 3p = 1,5p + 3
3p²-4,5p - 3 = 0p = ^{(4,5 ±}^√^{(20,25
+ 36))}/₆ = 2 of -¹/₂
t² = -¹/₂ kan niet en t² = 2 geeft t = √2 ∨ t = -√2
t = √2 ∨ t = -√2

Dat geeft de punten (0, -√2) en (0, √2)
Daar moet de lijn y =1,5x + p doorheen gaan, dus moet gelden p = ±√2

sint zit tussen -1 en 1
1 + 2sint zit dan tussen -1 en 3
dus x zit in [-1, 3]

cost zit tussen 1 en -1
1 + cost zit tussen 2 en 0
ln(1 + cost) zit tussen -∞ en ln2
dus y zit in 〈←, ln2]

y = ln(1 + cost) = 0
1 + cost = 1
cost = 0
t = ¹/₂π ∨ t = -¹/₂π
Dat geeft de snijpunten (3, 0) en (-1, 0)

x = 1 + 2sint = 0
sint = -¹/₂
t = -⁵/₆π ∨ t = -¹/₆π
y = -2,0 ∨ y = 0,6

x ' = 2cost = 0
t = ¹/₂π ∨ t = -¹/₂π
Dat geeft de punten (3, 0) en (-1, 0) en daar is de raaklijn evenwijdig aan de y-as

y' = ^-sint/_{(1 + cost)} = 0
sint = 0
t = 0
Dat is het punt (1, ln2) en daar is de raaklijn evenwijdig aan de x-as

Als t naar ±π gaat, gaat cost naar -1, dus y = ln(1 + cost) gaat dan naar -∞
Dan gaat x naar 1, dus de lijn x = 1 is verticale asymptoot

vervang t door -t

dan wordt x₂ = 1 + 2sin(-t) = 1 - 2sint
dan is x₁ + x₂ = 1 +2sint + 1 - sint = 2 dus het gemiddelde van de x-waarden is 1.

y₂ = ln(1 + cos(-t)) = ln(1 + cost) = y₁

De y-waarden zijn gelijk, de x-waarden zijn gemiddeld 1, dus de lijn x = 1 is symmetrieas.

x ' = -2t + 2 en y ' = 2t - 4

horizontale raaklijn: y ' = 0 geeft t = 2 (en dan is x' niet nul)
t = 2 geeft het punt (0, -1)

verticale raaklijn: x' = 0 geeft t = 1 (en dan is y' niet nul)
t = 1 geeft het punt (1, 0)

Dan moet ^y'/_x' naar een constant getal gaan als t → ±∞
^y'/_x' = ^{(2t - 4)}/_{(-2t + 2)} en dat gaat naar -1
Dus de lijn y = -x + b zou scheve asymptoot kunnen zijn.
Dan geldt y + x = b
y + x = t² - 4t + 3 + -t² + 2t = -2t + 3
Voor t → ±∞ gaat dat ook naar ±∞ en niet naar een constante.
Er is dus geen scheve asymptoot.

de helling moet 1 zijn.
^y'/_x' = ^{(2t - 4)}/_{(-2t + 2)} = 1
2t - 4 = -2t + 2 ⇒ 4t = 6 ⇒ t = 1¹/₂
Het raakpunt is dan (³/₄, -³/₄)
-³/₄ = ³/₄ + p geeft p = 1¹/₂

Snijpunten: t² - 4t + 3 = -t² + 2t + 11
2t² - 6t - 8 = 0
t² - 3t - 4 = 0
(t - 4)(t + 1) = 0
t = 4 ∨ t = -1
t = 4 geeft het punt (-8, 3)
t = -1 geeft het punt (-3, 8)
De afstand daartussen is (Pythagoras) √(5² + 5²) = 5√2

Aan de figuur hiernaast te zien vermoed ik dat tussen twee bij elkaar horende gespiegelde punten: t₁ + t₂ = 3
Dus t₂ = 3 - t₁

Dan moet punt (x₁, y₁) overgaan in
punt (x₂, y₂) = (-y₁, -x₁)

x₂ = -t₂² + 2t₂
= -(3 - t₁)² - 2(3 - t₁)
= -(9 - 6t₁ + t₁²) + 6 - 2t₁
= -9 + 6t₁ + t₁² + 6 - 2t₁
= t₁² + 4t1 - 3
= -y₁ dus dat klopt

y₂ = t₂² - 4t₂ + 3
= (3 - t₁)² - 4(3 - t₁) + 3
= 9 - 6t₁ + t₁² - 12 + 4t₁ + 3
= t₁² - 2t₁
= -x₁ dus dat klopt ook

Een "samenvatting" staat in de figuur hiernaast. De blauwe getallen zijn de waarden van t.

snijpunt x-as: y = 0 ⇒ t² - 2t - 3 = 0
⇒ (t - 3)(t + 1) = 0 ⇒ t = 3 t = -1
t = 3 geeft punt (-4, 0)
t = -1 geeft punt (2²/₅, 0)

snijpunt y-as: x = 0 en dat is nergens zo.

raaklijn verticaal: x ' = 0
-12(t² - 4t)^-2 • (2t - 4) = 0
t = 2 en dat is het punt (-3, -3)

raaklijn horizontaal: y' = 0
2t - 2 = 0 Þ t = 1 en dat is het punt (-4, -4)

x → ∞   als t → 4 en t → 0
t → 4 geeft y = -3 dus horizontale asymptoot y = 5
t → 0   geef y = -3 dus horizontale asymptoot y = -3

t → ∞   geeft x → 0 en y → ∞ dus verticale asymptoot de y-as
t → -∞   geeft x → 0 en y → ∞ dus verticale asymptoot de y-as

t = 5 geeft x = 2,4 en y = 12
x = 2,4 geeft ¹²/_{(t²
- 4t)} = 2,4
12 = 2,4(t² - 4t)
12 = 2,4t² - 9,6t
2,4t² - 9,6t - 12 = 0
t² - 4t - 5 = 0
(t - 5)(t + 1) = 0
t = 5 ∨ t = -1
t = -1 geeft y = 0
De afstand PQ is dan 12.

Een "samenvatting" staat in de figuur hiernaast. De blauwe getallen zijn de waarden van t.

raaklijn evenwijdig aan de x-as:
y '= ^-2/_{(t - 1)²} = 0 en dat is nooit het geval.

raaklijn evenwijdig aan de y-as:
x ' = 3t² - 6t = 0
3t(t - 2) = 0
t = 0 ∨ t = 2
t = 0 geeft het punt (2, -2)
t = 2 geeft het punt (-2, 2)

als t ↓ 1 dan gaat y → ∞ en x → 0 dus de y-as is verticale asymptoot
als t ↑ 1 dan gaat y → -∞ en x → 0 dus de y-as is verticale asymptoot
als t → ∞ dan gaat y ↓ 0 en x → ∞ dus de x-as is horizontale asymptoot
als t → -∞ dan gaat y ↑ 0 en x → -∞ dus de x-as is horizontale asymptoot

De kromme lijkt symmetrisch in de oorsprong.
We gokken het verband t₁ + t₂ = 2 dus t₂ = 2 - t₁
Als we de symmetrie willen bewijzen, dan moeten we aantonen dat (x₁, y₁) overgaat in (x₂, y₂) = (-x₁, -y₁)

x₂ = t₂³ - 3t₂² + 2 = (2 - t₁)³ - 3(2 - t₁)² + 2
= 8 - 12t₁ + 6t₁² - t₁³ - 3(4 - 4t₁ + t₁²) + 2
= 8 - 12t₁ + 6t₁² - t₁³ - 12 + 12t₁ - 3t₁² + 2
= -t₁³ + 3t₁² - 2
= -x₁ dus dat klopt.

y₂ = ²/(t₂ - 1) = ²/(2 - t₁ - 1) = ²/(1 - t₁) = -y₁ dus dat klopt ook.

y³x= 8 - 12y²
⁸/_{(t - 1)³} • (t³ - 3t² + 2) = 8 - ²⁴/_{(t-
1)²}vermenigvuldig met (t - 1)³
8(t³ - 3t² + 2) = 8(t - 1)³ - 24(t - 1)
8t³ - 24t² + 16 = 8(t³ - 3t² + 3t - 1) - 24t + 24
8t³ - 24t² + 16 = 8t³ - 24t² + 24t - 8 - 24t + 24
8t³ - 24t² + 16 = 8t³ - 24t² + 16
klopt!

(bij die derde stap is een staartdeling gemaakt)
dat geeft:
(75 - 30 - 6ln4) - (27 - 18 - 6ln2)
= 36 - 6ln4 + 6ln 2
= 36 - 12ln2 + 6ln2
= 36 - 6ln2
≈ 31,84