h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.  x = t - 2/t  = 0
t2 - 2 = 0
t = √2  ∨  t = -√2
Dat geeft de punten  (0, -√2)  en  (0, √2)

y =  t3 - 3t = 0
t(t2 - 3) = 0
t = 0 ∨  t = √3  ∨  t = -√3
Dat geeft de punten (1/3√3, 0) en  (-1/3√3, 0)
       
  b. Als je t door -t vervangt, wordt x tegengesteld, en y ook, dus gaat het punt  (x, y) over in (-x, -y)
Dat betekent dat de kromme symmetrisch is in (0, 0)
       
  c. Als t naar 0 gaat, gaat x naar   en y naar 0, dus is de lijn y = 0 horizontale asymptoot.
       
  d.  y'  =  3t2 - 3 = 0
t2 = 1
t = 1  ∨ t = -1
Dat geeft de punten  (-1, -2)  en  (1, 2) 

x = 1  geeft   t - 2/t  = 1
t
2 - 2 = t
t
2 - t - 2 = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t
= 2  ∨  t = -1
t = 2 geeft inderdaad weer het punt  (1, 2) net zoals t = -1, dus de kromme snijdt zichzelf daar.

x
= -1  geeft   t - 2/t  = -1
t
2 - 2 = -t
t
2 + t - 2 = 0
(t + 2)(t - 1) = 0
t
= -2  ∨  t = 1
t = -2 geeft inderdaad weer het punt  (-1, -2) net zoals t = 1, dus de kromme snijdt zichzelf daar.
       
  e. y'  =  3t2 - 3
x ' =
1 + 2t-2  = 1 + 2/t = (t + 2)/t
de helling is  y '/x'  = (3t - 3)t / (t + 2) = 1,5
(3t2 - 3)t2 = 1,5(t2 + 2)
noem t2 = p, dan staat er
3p2 - 3p = 1,5p + 3
3p2 - 4,5p - 3 = 0
p
(4,5
(20,25 + 36))/6 = 2  of  -1/2
t2 = -1/2 kan niet en t2 = 2 geeft t =
 t = -2
 
t = √2  ∨  t = -√2

Dat geeft de punten  (0, -√2)  en  (0, √2)
Daar  moet de lijn y  =1,5x + p doorheen gaan, dus moet gelden  p = √2
       
2. a. sint zit tussen -1 en 1
1 + 2sint zit dan tussen  -1 en 3
dus x zit in  [-1, 3]

cost zit tussen 1 en -1
1 + cost zit tussen  2 en 0
ln(1 + cost) zit tussen  -
  en ln2
dus y zit in  
←, ln2]
       
  b. y = ln(1 + cost) = 0
1 + cost = 1
cost = 0
t
= 1/2π 
  t = -1/2π
Dat geeft de snijpunten  (3, 0) en (-1, 0)

x = 1 + 2sint = 0
sint = -1/2
t = -5/6π
  t = -1/6π
y = -2,0 
  y = 0,6

       
  c. x ' = 2cost = 0
t = 1/2π  t = -1/2π
Dat geeft de punten  (3, 0) en (-1, 0) en daar is de raaklijn evenwijdig aan de y-as

y' = -sint/(1 + cost) = 0
sint = 0
t = 0
Dat is het punt (1, ln2)  en daar is de raaklijn evenwijdig aan de x-as
       
  d. Als t naar  π  gaat, gaat cosnaar -1, dus  y = ln(1 + cost) gaat dan naar -∞
Dan gaat x naar  1, dus de lijn x = 1 is verticale asymptoot

vervang door -t

dan wordt  x2 = 1 + 2sin(-t) = 1 - 2sint
dan is  x1 + x2 = 1 +2sint + 1 - sint = 2  dus het gemiddelde van de x-waarden is 1.

y
2ln(1 + cos(-t)) = ln(1 + cost) = y1

De y-waarden zijn gelijk, de x-waarden zijn gemiddeld 1, dus de lijn x = 1 is symmetrieas.
       
3. a. x ' = -2t + 2  en  y ' = 2t - 4

horizontale raaklijn:  y ' = 0  geeft  t = 2  (en dan is x' niet nul)
t = 2 geeft het punt  (0, -1)

verticale raaklijn:  x' = 0  geeft t = 1  (en dan is y' niet nul)
t = 1 geeft het punt (1, 0)
       
  b. Dan moet y'/x' naar een constant getal gaan als t
y'/x'  =  (2t - 4)/(-2t + 2)  en dat gaat naar -1
Dus de lijn y = -x + b zou scheve asymptoot kunnen zijn.
Dan geldt  y + x = b
y
+ x = t2 - 4t + 3 + -t2 + 2t  = -2t + 3
Voor 
t   gaat dat ook naar  en niet naar een constante.
Er is dus geen scheve asymptoot.
       
  c. de helling moet 1 zijn.
y'/x'  =  (2t - 4)/(-2t + 2) = 1 
2t - 4 = -2t + 2 
  4t = 6   t = 11/2
Het raakpunt is dan (3/4,  -3/4)
-3/4 = 3/4 + p  geeft  p = 11/2
       
  d. Snijpunten:   t2 - 4t + 3 = -t2 + 2t + 11
2t2 - 6t - 8 = 0
t2 - 3t - 4 = 0
(t - 4)(t + 1) = 0
t = 4 ∨  t = -1
t = 4 geeft het punt  (-8, 3)
t = -1 geeft het punt  (-3, 8)
De afstand daartussen is (Pythagoras)  √(52 + 52) = 5√2
       
  e. Aan de figuur hiernaast te zien vermoed ik dat tussen twee bij elkaar horende gespiegelde punten:  t1 + t2 = 3
Dus  t2 = 3 - t1

Dan moet punt (x1, y1) overgaan in
punt (x2, y2) = (-y1, -x1)

x2 = -t22 + 2t2
= -(3 - t1)2 - 2(3 - t1)
= -(9 - 6t1 + t12) + 6 - 2t1
= -9 + 6t1 + t12 + 6 - 2t1
= t
12 + 4t1 - 3
= -y1   dus dat klopt

y2 = t22 - 4t2 + 3
= (3 - t1)2 - 4(3 - t1) + 3
= 9 - 6t1 + t12 - 12 + 4t1 + 3
= t12 - 2t1
= -x1  dus dat klopt ook

       
4. Een "samenvatting" staat in de figuur hiernaast. De blauwe getallen zijn de waarden van t.

     
  a. snijpunt x-as:   y = 0  ⇒  t2 - 2t - 3 = 0 
⇒   (t - 3)(t + 1) = 0  ⇒  t = 3  t = -1
t = 3 geeft punt  (-4, 0)
t = -1 geeft punt (22/5, 0)

snijpunt y-as:  x = 0  en dat is nergens zo.
     
  b. raaklijn verticaal:  x ' = 0
-12(t2 - 4t)-2 (2t - 4) = 0
t = 2  en dat is het punt  (-3, -3)

raaklijn horizontaal:  y' = 0
2t - 2 = 0   t = 1  en dat is het punt (-4, -4)
       
  c. x ∞   als  t → 4  en  t → 0
t → 4  geeft  y =  -3  dus horizontale asymptoot y = 5
t → 0   geef  y = -3  dus horizontale asymptoot y = -3

t ∞   geeft  x →  0  en  y ∞  dus verticale asymptoot de y-as
t -∞   geeft  x → 0  en  y ∞  dus verticale asymptoot de y-as
       
  d. t = 5  geeft  x = 2,4  en y = 12
x = 2,4 geeft   12/(t - 4t) = 2,4
12 = 2,4(t2 - 4t)
12 = 2,4t2 - 9,6t
2,4t2 - 9,6t - 12 = 0
t2 - 4t - 5 = 0
(t - 5)(t + 1) = 0
t = 5 ∨  t = -1
t = -1  geeft  y = 0
De afstand PQ is dan 12. 
       
5. Een "samenvatting" staat in de figuur hiernaast. De blauwe getallen zijn de waarden van t.
     
  a. raaklijn evenwijdig aan de x-as:
y '=   -2/(t - 1) = 0  en dat is nooit het geval.

raaklijn evenwijdig aan de y-as:
x ' = 3t2 - 6t = 0
3t(t - 2) = 0
t = 0  ∨  t = 2
t = 0  geeft het punt  (2, -2)
t = 2 geeft het punt  (-2, 2)
  b. als t 1  dan gaat  y   en  x 0   dus de y-as is verticale asymptoot
als t 1  dan gaat  y -  en  x 0   dus de y-as is verticale asymptoot
als  t
  dan gaat  y 0  en  x   dus de x-as is horizontale asymptoot
als  t
-  dan gaat  y 0  en  x -  dus de x-as is horizontale asymptoot
       
  c. De kromme lijkt symmetrisch in de oorsprong.
We gokken het verband t1 + t2 = 2  dus  t2 = 2 - t1
Als we de symmetrie willen bewijzen, dan moeten we aantonen dat  (x1, y1)  overgaat in (x2, y2) = (-x1, -y1)

x2 = t23 - 3t22 + 2  =  (2 - t1)3 - 3(2 - t1)2 + 2
= 8 - 12t1 + 6t12 - t13 - 3(4 - 4t1 + t12) + 2
= 8 - 12t1 + 6t12 - t13 - 12 + 12t1 - 3t12 + 2
= -t13 + 3t12 - 2
= -x1  dus dat klopt.

y2 = 2/(t2 - 1) = 2/(2 - t1 - 1) = 2/(1 - t1) = -y1  dus dat klopt ook.
       
  d. y3x  =  8 - 12y2 
8/(t - 1) (t3 - 3t2 + 2) = 8 - 24/(t- 1)
vermenigvuldig met (t - 1)3
8(t3 - 3t2 + 2) = 8(t - 1)3 - 24(t - 1)
8t3 - 24t2 + 16 = 8(t3 - 3t2 + 3t - 1) - 24t + 24
8t3 - 24t2 + 16 = 8t3 - 24t2 + 24t - 8 - 24t + 24
8t3 - 24t2 + 16 = 8t3 - 24t2 + 16
klopt!
       
  e.

    (bij die derde stap is een staartdeling gemaakt)
dat geeft:
(75 - 30 - 6ln4) - (27 - 18 - 6ln2)
= 36 - 6ln4 + 6ln 2
= 36 - 12ln2 + 6ln2
= 36 - 6ln2
31,84
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)