Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

x ' = 0
1· e^t^{+ 2} + t · e^t^{+ 2}= 0
e^t^{+ 2}(1 + t) = 0
t = -1
Dat is het punt (-1, -e) en dat is het minimum van de functie x(t)
x(t) neemt de waarden in [-1,→] aan

y ' = 0
2t · e^{t + 2} + t² · e^{t
+ 2}= 0
e^{t + 2}(2t + t²) = 0
2t + t² = 0
t(2 + t) = 0
t = 0 ∨ t = -2
Dat zijn de punten (0, 0) (minimum) en (-2, ⁴/_e2) (maximum)
y(t) neemt de waarden in [0, →〉 aan

x = 0
t • e^t^{+ 2} = 0
t = 0
dat is het punt (0, 0)

y = 0
t² • e^t^{+
2} = 0
t = 0 en dat geeft hetzelfde punt.

verticale raaklijn:
x ' = 0
t = -1
Dat is het punt (-e, e)

horizontale raaklijn:
y '= 0
t = 0 ∨ t = -2
Dat zijn de punten (0,0) en (-2, 4)

Er zouden asymptoten kunnen zijn als t naar ∞ of -∞ gaat

t naar ∞, dan gaat x naar ∞ en y ook
^y'/_x' = ^{(2t + t²)}/_{(1
+ t)} en als t naar oneindig gaat, gaat die helling ook naar oneindig (de teller wordt veel groter dan de noemer)
Daar is dus geen asymptoot.

t naar -∞ Dan gaat x naar 0 en y ook, dus geen asymptoot

x ' = 0 als t = 0 en dat geeft het maximum (0, 1)
x neemt waarden 〈←, 1] aan.

y = ¹/_t en dat is een standaardgrafiek. Die neemt alle waarden aan behalve y = 0.

Als t naar 0 gaat, gaat y naar ±∞ en x naar 1, dus dat geeft een verticale asymptoot x = 1
Als t naar -∞ gaat, gaat y naar 0 en x naar -∞ dus dat geeft een horizontale asymptoot y = 0
Als t naar ∞ gaat, gaat y naar 0 en x ook, dus dat geeft geen asymptoot

x = (sint)^-1
x ' = -(sint)^-2 • cost en dat is nul als cost = 0
t = ¹/₂π ∨ t = ³/₂π
Dat geeft de punten (¹/₂π, 1) en (³/₂π, -1)
x neemt de waarden in 〈←, -1] [1, →〉 aan

y = 2cost en die neemt waarden in [-2, 2] aan

x = 0 heeft geen oplossingen.

y = 0
cost = 0
t = ¹/₂π ∨ t = ³/₂π
Dat geeft de punten (1, 0) en (-1, 0)

Als t naar 0 of 2π gaat, gaat sint naar 0, dus x naar ±∞ en y naar 2, dus y = 2 is horizontale asymptoot
Als t naar π gaat, gaat sint naar 0, dus x naar ±∞ en y naar -2, dus y = -2 is horizontale asymptoot

4 + x²y²    ?=?   4x²
4 + ¹/_sin²_t • 4cos²t   ?=? 4/_sin²_t       vermenigvuldig alles met sin²t
4sin²t + 4cos²t   ?=? 4
4(sin²t + cos²t)   ?=? 4
4 ?=? 4
q.e.d.

Dat is nul als t = 2
Dat is het punt (1, 3)

De oorsprong hoort bij t = 1
x' (1) = 4
y ' = 2t dus y' (1) = 2
Dan is ^y^'/_x' = ²/₄ = ¹/₂
De vergelijking van de raaklijn is y = ¹/₂x

-3 = ^{(4t
- 4)}/_t2
-3t² = 4t - 4
0 = 3t² + 4t - 4
t = ^{(-4 ±√(16 +
48))}/₆ = ²/₃ of -2
t = ²/₃ geeft het punt (-3, -⁵/₉)
t = -2 geeft het punt (-3, 3)
De afstand daartussen is AB = 3⁵/₉

Als t naar 0 gaat, gaat x naar ±∞ en y naar -1, dus y = -1 is horizontale asymptoot
Als t naar ±∞ gaat, gaat x naar 0 en y naar ∞ dus x = 0 is verticale asymptoot.

x = ¹/₄t² - 3t = 0
t(¹/₄t - 3) = 0
t = 0 ∨ ¹/₄t = 3
t = 0 ∨ t = 12
t = 0 vervalt en t = 12 geeft het punt (0, 7¹/₃)

y = t + ⁴/_t - 5 = 0
t² + 4 - 5t = 0
(t - 4)(t - 1) = 0
t = 4 ∨ t = 1
Dat geeft de punten (-8, 0) en (-2³/₄, 0)

Als t naar 0 gaat, gaat y naar ±∞ en x naar 0, dus is x = 0 verticale asymptoot
Als t naar ±∞ gaat, gaat x naar ∞ en y naar ±∞ dus er is geen horizontale asymptoot

Het snijpunt met de y-as wordt bereikt voor t = 12 (zie vraag a)
x ' = ¹/₃t - 3 dus x' (12) = 1
y ' = 1 - ⁴/_t² dus y '(12) = ¹⁴⁰/₁₄₄
De helling is dan ^y^'/_x' = ¹⁴⁰/₁₄₄
Die maakt een hoek tan^-1(¹⁴⁰/₁₄₄) = 44,2º met een horizontale lijn
De hoek met de y-as is dan 90 - 44,2 = 55,6º

evenwijdig aan de x-as
y ' = 1 - ⁴/_t² = 0
⁴/_t² = 1
t² = 4
t = 2 ∨ t = -2
Dat geeft de punten (-5, -1) en (7, -9)

evenwijdig aan de y -as
x ' = ¹/₃t - 3 = 0
¹/₃t = 3
t = 9
Dat geeft het punt (-6³/₄, 4⁴/₉)

x = -1
¹/₄t² - 3t = -1
t² - 12t + 4 = 0

t + ⁴/_t - 5 = 7
t² + 4 - 12t = 0

Dat geeft twee keer dezelfde vergelijking (met discriminant groter dan nul) dus er zijn twee verschillende waarden voor t waarvoor de kromme door het punt (-1, 7) gaat, dus snijdt de kromme zichzelf in dat punt.

Als t naar 1 of naar -1 gaat, gaat y naar ±∞ en x naar 0, dus is x = 0 verticale asymptoot
Als t naar ±∞ gaat, gaat y naar 0 en x naar ∞ dus y = 0 is horizontale asymptoot

x = ln | t | = 0
| t | = 1
t = 1 ∨ t = -1
Dat geeft de punten (0, -3) en (0, 5)

y = t² - 4t = 0
t(t - 4) = 0
t = 0 ∨ t = 4
t = 0 is niet toegestaan, en t = 4 geeft het punt (ln4, 0)

Als t naar 0 gaat, gaat x naar -∞ en y naar 0 , dus y = 0 is horizontale asymptoot.

y ' = 2t - 4 = 0
t = 2
Dat is het punt (ln2, -4)

x = ln(2t² - t) = 0
2t² - t = 1
2t² - t - 1 = 0
t = ^{(1 ±√(1
+ 8))}/₄ = 1 of -¹/₂
Dat geeft de punten (0, 3) en (0, -³/₄)

y = t² + 2t = 0
t(t + 2) = 0
t = 0 ∨ t = -2
t = 0 is niet toegestaan, en t = -2 geeft het punt (ln10, 0)

y '= 2t + 2 = 0
t = -1
Dat is het punt (ln3, -1)

Als t naar 0 gaat, gaat x naar -∞ en y naar 0, dus de lijn y = 0 is horizontale asymptoot.
Als t naar ¹/₂ gaat, gaat x naar -∞ en y naar ⁵/₄, dus de lijn y = ⁵/₄ is horizontale asymptoot.

x = ln | t + 1 | = 0
| t + 1 | = 1
t + 1 = 1 ∨ t + 1 = -1
t = 0 ∨ t = -2
Dat geeft de punten (0, 0) en (0, ln3)

y = ln | t - 1 | = 0
| t - 1 | = 1
t - 1 = 1 ∨ t - 1 = -1
t = 2 ∨ t = 0
Dat geeft de punten (ln3, 0) en (0,0)

x ' = ¹/_{(t + 1)}
y ' =¹/_{(t - 1)}
de helling is dan ^{y '}/_{x '} = ^{(t
+ 1)}/_{(t - 1)}

t = 0 geeft helling -1 in het punt (0,0)
t = -2 geeft helling ¹/₃ in het punt (0, ln3)
t = 2 geeft helling 3 in het punt (ln3, 0)

Als t naar 1 gaat, gaat y naar -∞ en x naar ln2 dus x = ln2 is verticale asymptoot.
Als t naar -1 gaat, gaat x naar -∞ en y naar ln2 dus y = ln2 is horizontale asymptoot.

Als t naar ±∞ gaat, gaan y en x beiden naar ¥
De helling ^y'/_x' = ^{(t + 1)}/_{(t - 1)} gaat in dat geval naar 1.
Dus zal de lijn y = x + b scheve asymptoot zijn.
y - x = ln(t - 1) - ln(t + 1) = ln{ ^{(t - 1)}/_{(t + 1)}} en dat gaat naar ln1 = 0
Dus b = 0 en de scheve asymptoot is de lijn y = x

10.

Als t naar 0 of π of 2π gaat, gaat x naar ∞ en y naar 0, dus y = 0 is horizontale asymptoot
Als t naar ¹/₂π of ³/₂π gaat, gaat y naar ±∞ en x naar 0, dus x = 0 is verticale asymptoot