© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. koppeltjes t's die bij elkaar horen zijn  (0, π)   (1/4π, 3/4π)   (1/2π, 1/2π)
we gokken het verband t1 + t2 = π, dus t2 = π - t1

x2 = cos(π - t1) - 2sin(π - t1)
= -cos(t1) - 2sin(t1)
= -( (cost1) + 2sint1) )
= -y1

y2 = cos(π - t1) + 2sin(π - t1)
= -cost1 + 2sint1
= -(cost1 - 2sint1)
= -x1

het punt  (x1, y1) gaat over in  (-y1, -x1) dus de kromme is symmetrisch in y = -x  
       
2. a. y'  = 1 - cost = 0
cost = 1
t = 1/2π  ∨  t = 11/2π
Dat geeft  y = 1/2π - 1  en   y = 11/2π + 1
neemt de waarden daartussen aan, dus  [ 1/2π - 1,  11/2π + 1]
       
  b. x'  = - cost = 0
t = 1/2π  ∨  t = 11/2π
dat zijn de punten  (0,   1/2π - 1)  en   (2, 11/2π + 1)		  
       
  c. zie de kromme hiernaast met enkele t-waarden
we proberen  t1 + t2 = 2π  dus  t2 = 2π - t1

x2 = 1 - sin(2π - t1)
= 1 - - sint1 = 1 + sint1

y2 = 2π - t1 - sin(2π - t1)
= 2π - t1 + sint1

het gemiddelde van x1 en x2 is  1/2(1 - sint1 + 1 + sint1) = 1
het gemiddelde van y1 en y2 = 1/2(t1 - sint1 + 2π - t1 + sint1) = π

dus (1, π) ligt inderdaad midden tussen twee punten van de kromme, en is dus punt van symmetrie..
       
3. a. x-as:  y = 0
-1/2t2 + 2 = 0
t2 = 4
t = 2  ∨  t = -2
Dat geeft de punten (2, 0) en (-6, 0)

y-as:  x = 0
-1/2t2 + 2t = 0
t(-1/2t + 2) = 0
t = 0  ∨   t = 4
Dat geeft de punten  (0, 2) en (0, -6)

x = y:
-1/2t2 + 2t = -1/2t2 + 2
2t = 2
t = 1
Dat geeft het punt  (1, 1)

  
       
  b. zie de figuur hiernaast met enkele t-waarden.
we gokken het verband  t1 + t2 = 2  dus  t2 = 2 - t1

x2 = -1/2(2 - t1)2 + 2(2 - t1)
= -1/2(4 - 4t1 + t12) + 4 - 2t1
= -2 + 2t1 - 1/2t12  + 4 - 2t1
= -1/2t12 + 2
= y1

y2 = -1/2(2 - t12) + 2
= -1/2(4 - 4t1 + t12) + 2
= -2 + 2t1 - 1/2t12 + 2
= -1/2t12 + 2t1
= x1
       
    Het punt (x1, y1) gaat over in  (y1, x1) dus is de kromme symmetrisch in y = x
       
  c. P is het punt (-1/2t2 + 2t,  -1/2t2 + 2)  en  A het punt (0, -2)
Pythagoras:  de afstand is  √(Δx2 + Δy2)
= √ { (-1/2t2 + 2t)2 + (-1/2t2 + 4)2 }
= √{ 1/4t4 - 2t3 + 4t2 + 1/4t4 - 4t2 + 16 }
= √{ 1/2t4 - 2t3 + 16 }

Die wortel is minimaal als dat deel onder de wortel minimaal is, dus als de afgeleide ervan nul is:
2t3 - 6t2 = 0
t2(2t - 6) = 0
t = 0  ∨  t = 3
t = 0 geeft afstand √4
t = 3 geeft afstand √2,5
De minimale afstand is √2,5 en die vind je bij t = 3, dus dan is P = (11/2,  -21/2)
       
4. a. y-as:  x = 0
2sin2t = 0
2t = 0 ∨  2t = π
t = 0, 1/2π, π
Dat zijn de punten  (0, -1) en (0, 1) en (0, 3)

x-as:  y = 0
1 - 2cost
cost = 1/2
t = 1/3π
Dat is het punt  (√3, 0)

// x-as:  y ' = 0
2sint = 0
t = 0  ∨  t = π
Dat zijn de punten (0, -1) en (0, 3)

// y-as:  x ' = 0
4cos2t = 0
2t = 1/2π  ∨  2t = 3/2π
t = 1/4π ∨   t = 3/4π
Dat zijn de punten  (2, 1-√2)  en  (-2, 1+√2)
       
  b. y = -x + 1
1 - 2cost  = -2sin2t + 1
1 - 2cost + 2sin2t - 1 = 0
-2cost + 4sintcost = 0
2cost(-1 + 2sint) = 0
cost = 0 ∨  sint = 1/2
t = 1/2π  ∨  t = 1/6π
Dat zijn de punten  (0, 1) en (√3, 1-√3)
       
  c. zie de figuur hiernaast met enkele t-waarden.
we gokken het verband  t1 + t2 = π, dus  t2 = π - t1

x2 = 2sin2(π - t1)
= 2sin(2π - 2t1)
= -2sin(2t1)
= -x1

y2 = 1 - 2cos(π - t1)
= 1 + 2cost1  

het gemiddelde van x1 en x2 is 0
het gemiddelde van y1 en y2 = 1/2(1 + 2cost1 + 1 - 2cost1) = 1

dus (0, 1) ligt inderdaad midden tussen twee punten van de kromme, en is dus punt van symmetrie.
       
5. a. x =  ln | t + 1 | = 0
| t + 1 | = 1
t + 1 = 1 ∨  t + 1 = -1
t = 0 ∨  t = -2   en dat geeft de punten (0, 0) en (0, ln3)

y = ln | t - 1 | = 0
| t - 1 | = 1
t - 1 = 1 ∨  t - 1 = -1
t = 2 ∨   t = 0  en dat geeft de punten  (0,0) en (ln3, 0)

de afgeleide van  ln | x | is 1/x 

x ' =  1/(t + 1)   en    y ' = 1/(t - 1)  en de helling is  y'/x' 

t = 0:  in (0,0) is de helling  -1/1 = -1
t = 2: in  (ln3, 0) is de helling  1/(1/3) = 3
t = -2:  in  (0, ln3)  is de helling  -(1/3)/-1 = 1/3    
       
  b. zie de figuur hiernaast met enkele t-waarden.
we gokken het verband  t1 + t2 = 0, dus  t2 = - t1

x2 = ln |-t1 + 1 |
= ln | -(t1 - 1) |
= ln | t1 - 1 |
= y1

y2 = ln | -t1 - 1 |
= ln | -(t1 + 1) |
= ln | t1+ 1 |
= x1

   
Het punt (x1, y1) gaat over in  (y1, x1) dus is de kromme symmetrisch in y = x
       
6. a. x ' = -2t-3 = 0
-2/t3 = 0
Dat is voor geen enkele t het geval.

y ' = 1 • e-t² + t • e-t² • -2t = 0
e-t² (1 - 2t2) = 0
1 - 2t2 = 0    (ex  is nooit nul)
t2 = 1/2
t = ±1/2√2
Dat geeft de punten  (2, ±1/2√2 • e-0,5 )
       
  b De kromme is symmetrisch in de x-as.

Dat kun je heel snel zien:

Als je t door -t vervangt, dan blijft x gelijk (vanwege het kwadraat) en wordt y tegengesteld.
Dus gaat  (x, y) over in (x, -y)
Klaar.

       
7. zie de figuur hiernaast.
Het lijkt erop dat het gemiddelde van bij elkaar horende t-waarden steeds π is.
1/2(t1 + t2) = π  geeft  t2 = 2π - t1

x2 = 2sin(2π - t1) • (1 - cos(2π - t1))
= -2sint1 • (1 - cost1)
= -x1

y2 = 2cos(2π - t1) • (1 - cos(2π - t1))
= 2cost1 • (1 - cost1)
= y1

       
  Het punt (x1, y1) gaat over in  (-x1, y1) dus is de kromme symmetrisch in de y-as.
       
8. a. sin2(2t)  ?=?  2(2 • sin2t) - (2 • sin2t)2
(2costsint)2   ?=?  4sin2t  - 4sin4t
4cos2tsin2t  ?=?  4sin2t - 4sin4t
4(1 - sin2t)sin2t   ?=?   4sin2t - 4sin4t
4sin2t - 4sin4t  ?=?    4sin2t - 4sin4t
q.e.d.
       
  b. x  = 1 
2sin2t = 1
sin2t = 1/2
sint = ±1/2√2
t = 1/4π, 3/4π, 5/4π, 7/4π 

x ' = 4sintcost = 2sin2t
y ' = 2sin2t•cos2t• 2 = 4sin2tcos2t
de helling is  y'/x' = 2cos2t en dat is voor al die t-waarden gelijk aan 0

f '(x) = 2 - 2x
f '(1) = 0
       
  c. Als de functie symmetrisch is rond x = 1 moet gelden 
 f(1 + a) = f(1 - a)
2(1 + a) - (1 + a)2   ?=?    2(1 - a) - (1 - a)2
2 + 2a - (1 + 2a + a2)  ?=?  2 - 2a - (1 - 2a + a2)
2 + 2a - 1 - 2a - a2  ?=?  2 - 2a - 1 + 2a - a2 }
1 - a2  ?=?  1 - a2
q.e.d.
 
    zie de figuur hiernaast.

het lijkt erop dat  t2 - t1 = 1/2π
probeer  t2 = 1/2π + t1

x2 = 2 • sin2(1/2π + t1)
= 2cos2t1

y2 = sin2(2(1/2π + t1))
= sin2(π + 2t1)
= (-sin2(2t1))
= sin2 (2t1)
= y1

x1 + x2 = 2sin2t1 + 2cos2t1 = 2(sin2t1 + cos2t1) = 2
dus  x2 =  2 - x1  en y2 = y1 dus is de kromme symmetrisch t.o.v.  x = 1

       
9. a het lijkt erop dat de kromme zichzelf op de x-as snijdt.

y = 0
2sin(t - 1/6π) = 0
t - 1/6π = 0  ∨  t - 1/6π = π
t = 1/6π ∨  t = 7/6π

Dat geeft x = √3  en   x = √3  en dat is twee keer hetzelfde punt dus snijdt de kromme zichzelf in het punt  (√3, 0)

       
  b. x ' = 4costcost - 4sintsint   dus  x'(1/2π) = -4
y ' = 2cos(t - 1/6π)  dus  y '(1/2π) = 1
de helling is dan   y'/x' = 1/-4 = -1/4  
       
  c. de kromme is symmetrisch in de x-as. Met de t-waarden in de figuur hierboven lijkt het erop dat het gezochte verband is  t2 = t1 - π

x2 = 4sin(t1 - π)cos(t1 - π)
= 4 • -sint1 • - cost1
= x1

y2 = 2sin(t1 - π  - 1/6π)
=  2sin(t1 - 1/6π) - π)
= -2sin(t1 - 1/6π)
= -y1

Het punt (x1, y1) gaat over in  (x1, -y1) dus is de kromme symmetrisch in de x-as.

       
10.   zie de figuur hiernaast.

we gokken het verband  t2 = -t1

x2 = (-t1)2 + 1 = t12 + 1 = x1

y2 = -t1/( (-t1)2 - 1) =  -y1

Het punt (x1, y1) gaat over in  (x1, -y1) dus is de kromme symmetrisch in de x-as.  

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)