© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De afstand tot de oorsprong is 6, dus dan geeft Pythagoras:  x2 + y2 = 62 = 36
y2 = 36 - x2 en daaruit volgt direct de gegeven formule.
       
       
  b. neem een strookje op hoogte h met breedte 2x
h
= √(36 - x2)
36 - x2 = h2
x2 = 36 - h2
x = √(36 - h2)
 
   
       
    de oppervlakte is  1/2πr2 = 18p
Als de hoogte van het zwaartepunt H is, dan geldt:   18π • H = 144
H = 144/18π = 8/π = 2,546
       
2. neem een strookje op hoogte h met breedte 2x
h
= √x ⇒  x = h2
 
 
       
  Noem de hoogte van het zwaartepunt H, dan geldt:  16/3 • H = 8
H = 24/16 = 1,5 
       
3. a. Lijn AB heeft vergelijking  y = 3 - x  dus  h = 3 - x
De oppervlakte van driehoek OAB is 4,5.
   
    En dus ook  yZ = 1  
       
  b. Je kunt de oppervlakte verdelen in een rechthoek van 1 (breedte)  bij 3 (hoogte) + een deel onder de grafiek
van y = 3/x.
De rechthoek heeft oppervlakte 3. De hele oppervlakte is dus gelijk aan:
   
    Verder geldt:  
   
     
       
4. Noem de totale hoogte H en de straal van het grondvlak R
(H - h)/r  = H/R
rH = R(H - h) = RH - Rh
r = R - R/H • h
 
 
  T = πR2 • {1/2H2 - 2/3H2 + 1/4H2}
T = πR2 • 1/12H
  De inhoud is  1/3πR2H dus als Z de hoogte van het zwaartepunt is, moet gelden:
1/3πR2H • Z = πR2 • 1/12H2
Z = 1/4H
       
5. h2 + r2 = 36 geeft  r2 = 36 - h2  
 
  = π • (648 - 108) = 540π.
  De inhoud van een halve bol met straal 6 is  I = 2/3π • 63 = 144π
Als de hoogte van het zwaartepunt Z is, dan geldt:  144π • Z = 540π
Z = 3,75
       
6a. één zo'n ringetje heeft oppervlakte (en dus massa)  2πrdh  want dat is de omtrek van een cirkel met straal r
en hoogte dh
h =
√(r - 4)  r - 4 = h2  ⇒ r = 4 + h2
Bij x = 8  is  y = (8 - 4) = 2  dus h loopt van 0 tot 2.
 
  T = π • (16 + 8) = 24π
De totale oppervlakte O berekenen we ook met een integraal:
 
  O = π • (16 + 16/3) = 211/3π
Als de hoogte van het zwaartepunt Z is, moet gelden  211/3π • Z = 24π
Z = 1,125 
       
6b.
  T = π • (32 + 32 + 102/3) = 742/3π
De inhoud I  doen we ook met een integraal:
 
  I = π • (32 + 64/3 + 32/5) =  896/15π
Als de hoogte van het zwaartepunt Z is, moet gelden 896/15π • Z = 742/3π
Z = 1,25
       
7. V = 1/2 • 4/3 • π • 13 = 2/3π.
 
  xZ = M/V = 3/8
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)