© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.  x2 - 5 = -2x - 2
x2 + 2x - 3 = 0
(x - 1)(x + 3) = 0
x = 1  ∨  x = -3
   
       
  b. 2√x - 2  = 4 - √x
3x = 6
x = 2
x = 4
   
       
  c. 6x2 - 2x - x3 - 4 = 2x2 - 14x - 4
4x2 + 12x - x3 = 0
-x(x2 - 4x - 12) = 0
-x(x - 6)(x + 2) = 0
x = 0  ∨ x = 6   x = -2
tussen -2 en 0 ligt  g  boven f
tussen 0 en 6 ligt  f  boven g
   
    = (0) - (4 + 102/3 - 24) = 91/3  
       
   
    = (-324 + 288 + 216) - (0) = 180  
       
    Samen is dat  1891/3  
       
2.

  12x2 + 6x - 4x - 2 = 8x2
4x2 + 2x - 2 = 0
ABC-formule:  x = (-2 ±√(4 + 32))/8 = 1/2  of  -1
 
  = (6ln4 + 1/2 - 4ln9) - (6ln0,5 + 4 - 4ln2)
= 12ln2 + 1/2 - 8ln3 + 6ln2 - 4 + 4ln2
= 22ln2 - 31/2 - 8ln3 = 2,96
       
3.
  De Ginicoëfficiënt is dan  1428,41/5000 = 0,286
   
4. Als de x-coördinaten van de hoekpunten van de rechthoek p en -p zijn, is de breedte 2p
De hoogte is dan y2 - y1 = 2 - 0,25p2 - 0,25p2  = 2 - 0,5p2 
De oppervlakte van de rechthoek is  (2 - 0,5p2) • 2p = 4p - 2p3
Die oppervlakte is maximaal als de afgeleide ervan nul is:  4 - 6p = 0
Dat is voor p = 2/3  en dan is de oppervlakte 56/27 
   
  0,25x2 = 2 - 0,25x2
0,5x2 = 2
x2 = 4
x = 2 ∨ x = -2
 
   
  Dat is dan maximaal  (56/27) / (16/3) = 7/18 deel en dat is 38,9%
   
5. a. De bovenste helft van de cirkel met middelpunt N is gegeven :  y = (9 - x2)
    De onderste helft van de cirkel met middelpunt M krijg je door de onderste helft van de cirkel met middelpunt N over een afstand 3 omhoog te schuiven. De vergelijking was  y = -(9 - x2) en wordt dus nu y = -(9 - x2) + 3
       
  b. (9 - x2) = -(9 - x2) + 3
2(9 - x2) = 3
(9 - x2) = 1,5
9 - x2 = 2,25
x2 = 6,75
x±√(6,75)
       
  c. Y1 = (9 - X^2) - 3 + (9 - X^2)
calc - en dan de integraal van  -6,25 tot 6,25
dat geeft oppervlakte ongeveer 11,02
       
6. y = sinx
y'
= cosx
y'
(0) = 1 dus de raaklijn in (0,0) is de lijn y =
De lijn x = 1/2π verdeelt de oppervlakte in twee gelijke delen (vanwege de symmetrie van de sinx grafiek).
We bereken de oppervlakte van het rechterdeel:
 
  De hele oppervlakte is dan het dubbele daarvan:   1/4π2 - 2  (≈ 0,47)
       
7. ex - 2 = 0
ex = 2
x = ln2

4 - e2x  =  0
e2x = 4
ex = 2
x = ln2

Dus de grafieken snijden elkaar in het punt  (ln2, 0)
       
 
       
8. 2x2 + 10 = 4x + 16
2x2 - 4x - 6 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3   x = -1

 
 
 
  Samen is dat  511/3
     
9. a. f ' (x) = 0,5 • (x - 1)-0,5  dus  f '(10) = 0,5 • (9)-0,51/6 en dat is het hellinggetal van de raaklijn.
De raaklijn heeft dus vergelijking y = (1/6)•x + b
b
kun je vinden door het raakpunt (10,3) in te vullen:  3 = 10•(1/6) + b dus  b = 4/3
Daarmee is de vergelijking geworden  y = 1/6 x + 11/3
       
  b. Bereken de oppervlakte onder de rechte lijn en trek er daarna de oppervlakte onder de wortel vanaf.
   
   
    De gevraagde oppervlakte is dus  het verschil tussen deze twee en is  32/3
       
10. eerst maar eens de snijpunten:

x2 - 4= -2x + 3
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x
= 3 ∨  x = -1

-2x + 3 = x
3x = 3
x = 1

x
2 - 4x = x
x
2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x = 0  ∨ x = 5

       
  De drie gebieden zijn elk in weer twee andere gebieden te verdelen:
gebied I is  a en b
gebied II is c en d
gebied III is  e en f
   
 
  = (0) - (1 - 3 + 1/3) + (-3/2 + 3) - (0) = 31/6
       
 
  = (5/2 - 1/3) - (0) + (9 + 9 - 9) - (1 + 3 - 1/3) = 71/2
       
 
  = (27/2 - 9) - (3/2 - 3) + (125/2 - 125/3) - (45/2 - 9) = 131/3
       
11. eerst maar eens de snijpunten:

4x2 = 7,5x + 1
4x2 - 7,5x - 1 = 0
ABC-formule:  x = (7,5 ±√(56,25 + 16))/8 = 2 of  -1/8

4x2 = 1/2x 
8x3 = 1
x3 = 1/8
x = 1/2 

7,5x + 1 = 1/2x
15x2 + 2x - 1 = 0
ABC-formule:  x = (-2 ±√(4 + 60))/30 = 1/5  of  -1/3
 
Verdeel V in twee stukken zoals hiernaast.

 
  = (0,9375 + 0,5 - 1/2ln1)-(0,15 + 0,2 - 1/2ln0,4)
= 1,0875 + 1/2ln0,4
     
 
  = (15 + 2 - 32/3) - (0,9375 + 1/2 - 1/6)
= 5,0625
       
  Samen geeft dat oppervlakte  6,15 + 0,5ln(0,4)
       
12. Verdeel het gebied in twee stukken.

gebied I:  tussen x = 1 en x = 2  Daar ligt f  boven g
 
       
  gebied II : tussen x = 2 en x = 4. Daar ligt 6 - x  boven g
 
       
  Totale oppervlakte is dan 3 - 4/32 + 2/3 + 4/32 = 32/3
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)