h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. (x8 - x6) = x6 (x2 - 1) = x3 (x2 - 1)
substitueer  x = 1/cosu, dan is  (x2 - 1) = tanu  en  dx = tanu/cosu du. 
       
   
       
    een primitieve is  1/5tan5u + 1/3tan3u

x =
1/cosu geeft  tanu = (x2 - 1)   (teken maar zo'n driehoekje)
De primitieve wordt dan   F = 1/5(x2 - 1)2,5 + 1/3(x2 - 1)1,5
       
  b.
       
    substitueer nu  1/2x = 1/cosu,  dan is  x = 2/cosu  en dx = 2tanu/cosu du
de integraal wordt dan:
   
       
    terug naar x:    x = 2/cosu  geeft  u = arccos(2/x)  en  tanu = 1/2(x2 - 4)  (teken maar zo'n driehoekje)
dan is de primitieve:   F = (x2 - 4) - 2arccos(2/x)
       
  c.  
       
    substitueer 1/4x = sinu , dan is  x = 4sinu  en dx = 4cosudu
de wortel wordt dan gelijk aan cosu, dus dat geeft voor de integraal:
 
       
     
    Die sinu is op een minteken na gelijk aan de afgeleide van cosu,
dus een primitieve is dan  -64cosu + 64/3 cos3u

terug naar x:   sinu = x/4  geeft  cosu = 1/4(16 - x2)   (weer met zo'n driehoekje)
dan is de primitieve:   F = -16(16 - x2) + 1/3(16 - x2)1,5
       
  d. Substitueer  x = tanu
Dan is  (1 + x2) = cosu  en  dx = 1/cos2udu
 
   
    die cosu is precies de afgeleide van sinu , dus als je sinu eventjes X noemt, staat er:
   
    zoals je ziet zijn we weer aan het breuksplitsen.
A - B = 0  en  A + B = 1  geeft  A = B = 1/2
de primitieve wordt dan: 
     
    als  x = tanu  dan is  sinu = x/(1 + x2)  (weer met zo'n driehoekje)
     
       
  e. Substitueer x = sinu  dan is  dx = cosudu en  (1 - x2) = cosu  
   
       
    Als x = sinu  dan is  u = arcsinx
dat geeft primitieve F = -tan(1/2π - arcsinx)
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)