© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. ondersom:
L1:   0, 1, 2, 3, 4, 5
L2:  √(2*L1 + 4)
sum(L2) = 17,646

bovensom:  hetzelfde, maar in L1 nu  1, 2, 3, 4, 5, 6
geeft  sum(L2) = 19,646 
       
  b. ondersom:
L1:  0,1,2,3,4,5,6,7
L2:  6-1/(L1+1)
sum(L2) = 45,282

bovensom:  hetzelfde, maar in L1 nu  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
geeft  sum(L2) = 46,171
       
  c. ondersom:
L1:  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
L2:  (0.5)^L1
sum(L2) = 0,99976

bovensom:   hetzelfde, maar in L1 nu  0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,10,11
geeft  sum(L2) = 1,99951
       
2. L1:   0, 0.25, 0.50, 0.75, 2, ....,  8.75
L2:   0,25*(2+√(L1))
geeft  sum(L2) = 35,60

bovensom hetzelfde, maar nu in L1:  0.25, 0.50, ..., 9
geeft  sum(L2) = 36,35
       
3. zie de figuren hiernaast.
de ondersom en bovensom zouden precies gemiddeld de juiste oppervlakte geven als de gebieden I en II gelijk zouden zijn.

Als de grafiek "hol" loopt (zoals links) zal de werkelijke oppervlakte onder de grafiek kleiner zijn dan het gemiddelde van ondersom en bovensom. Als de grafiek "bol" loopt zoals rechts zal de werkelijke oppervlakte groter zijn.

       
4. L1:  0.1, 1.5, 2.5, ..., 9.5
L2:  10*L1+ 24 - L1^2
sum(L2) geeft 407,5
       
5. L1:  0.05, 0.15, 0.25, 0.35, ..., 1.95
L2:  0,1*sin(π*(L1)/2)
sum(L2)  geeft 1,2745
       
6. a. De grafiek zit voor een deel onder de x-as, dus de oppervlakte van een deel van de staafjes wordt negatief genomen.
       
  b. in plaats van  L2 =  2 - √(L1) moet hij ervoor zorgen dat dat altijd positief is.
dat kan met de absolute waarde:  L1 = ABS(2 - √(L1))
(ABS vind je bij MATH - NUM)
       
7. a. De eerste rechthoek heeft een hoogte die het gemiddelde is van  f(x0) en f(x1)
Dat is  (f(x0) + f(x1))/2
De breedte is  x1 - x0  dus de oppervlakte is  (x1 - x0)• 0,5(f(x0) + f(x1))

Op dezelfde manier heeft de tweede rechthoek een oppervlakte:  (x2 - x1) • 0,5(f(x1) + f(x2))

Samen geeft dat   S =  (x1 - x0)• 0,5(f(x0) + f(x1)) + (x2 - x1) • 0,5(f(x1) + f(x2))
S = 0,5 • {x1f(x0) + x1f(x1) - x0f(x0) - x0f(x1) + x2f(x1) + x2f(x2) - x1f(x1) - x1f(x2)}
S =  0,5 • {f(x0) • (x1 - x0)  + f(x1) • (x2 - x0)  +  f(x2) • (x2 - x1)}

omdat x1 midden tussen x0 en x2 in ligt, is  x1 = (x2 + x0)/2   en ook is  x1 - x0 = x2 - x1 = 0,5(x2 - x0) 
dat geeft:

S =  0,5 • {f(x0) • 0,5(x2 - x0) + f((x0 + x2)/2) • (x2 - x0) + f(x2) • 0,5(x2 - x0)}
S =  0,25 • (x2 - x0) • {f(x0) + 2•f((x0 + x2)/2) + f(x2)}
Dat is inderdaad de gezochte formule.
       
  b. Zie vraag 3.  
       
  c. f(x0) = f(0) = 0
f((x0 + x2)/2) = f(1/2) = 1/4
f(x2) = f(1) = 1
(x2 - x0) = 1 en dat kun je allemaal invullen in S:
S = 1/3 = (0 + k1/4 + 1)/(k + 2)
1/3(k + 2) = 1/4k + 1
1/3k + 2/3 = 1/4k + 1
1/12k = 1/3
k = 4
       
8. a. de top van de parabool is het punt (640, 5) dus de formule is  y = a(x - 640)2 + 5
a kun je bepalen door het punt  (0, 160) in te vullen:   160 = a(-640)2 + 5
409600a = 155
a = 155/409600 = 0,0003784
       
  b. L1:  0, 10, 20, 30, ..., 1280       (via bijv.  LIST - OPS - seq(10X, X, 0, 128) STO L1)
L2:  0,0003784*(L1 - 640)^2+5
sum(L2) geeft 7413,82  meter kabel.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)