h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. x = 1 cos0 sin1/3π1/23
y = 1 sin0 sin1/3π = 0
z = 1 cos1/3π = 1/2
A = (1/23, 0, 1/2
       
  b. x= 4 cos1/4π sin1/4π = 2
y = 4 sin1/4π sin1/4π = 2
z = 4 cos1/4π = 22
B = (2, 2, 22)
       
  c. x = 2 cos(-1/6π) sinπ = 0
y = 2 sin(-1/6π) cosπ = 1
z = 2 cosπ = -2
C = (0, 1, -2)
       
2. a. r2 = 12 + 12 + 12 = 3  dus  r = 3
cosθ = 1/3  geeft  θ = 0,96
sinθ = (1 - cos2θ) = (2/3)
cosφ = 1/(3 2/3) = 1/22  dus  φ = 1/4π  of  φ = 7/4π  omdat y positief is de eerste.
A = (3, 1/4π, 0.96)
       
  b. r2 = 6 + 6 + 4 = 16  dus  r = 4
cosθ = 2/4  geeft  θ =  1/3π
dan is sinθ = 1/23
cosφ = 6/(4 0,53) = 1/22  dus  φ = 1/4π  of  φ = 7/4π  omdat y negatief is de laatste
B = (4, 7/4π, 1/3π)
       
  c. r2  = 4 + 12 + 16 = 32  dus r = 32 = 42
cosθ = 4/42  geeft  θ =  1/4π
dan is sinθ = 1/22
cosφ = 2/(42 0,52) = 1/2  dus  φ = 1/3π  of  φ = 5/3π  omdat y positief  is de eerste
B = (42, 1/3π, 1/4π)
       
3. a. r = sinθsinφ = y/r
dus r2 = y
x
2 + y2  + z2 = y
x
2  + y2 - y + z2 = 0
x
2 + y2 - y + 1/4 + z2 = 1/4
x
2 + (y - 1/2)2 + z2 = (1/2)2
Dat is een bol met straal 1/2 en middelpunt  (0, 1/2, 0)
       
  b. rsinθ = 4
Dan is die schuine lijn OP'  gelijk aan  4 (P' de projectie van P op het Oxy-vlak)
Waar liggen al die punten P ?
Op een cilinder met straal 4, en als as de z-as.
       
  c. r = cosθ
dan is  r2 = rcosθ  en dat is z
r
2 = x2 + y2
Dus  x2 + y2 = z
Cirkels waarvan de straal afhangt van z:  
Dat is een kegel met de top in de oorsprong, die omhoog gaat tot z = 1
       
4. Voor het lichaam geldt:
4 < r < 6  en   1/2π < φ < 2π  en  0 < θ < 1/2π
Verder is  z = rcosθ
 

       
5. Voor het lichaam geldt:
0 < r < 10  en   0 < φ < 2π  en  1/2π < θ < π

Verder is  x2  + y2 = r2sin2θcos2φ + r2sin2θsin2φ
= r2sin2θ

Met de Jacobiaan erbij wordt de integrand dan
r2sin2θ r2sinθ = r4sin3θ

 
 

 

       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)