© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. a. Y1 = (4X + 5)/(X√(X))  en  Y2 = 9 en dan intersect geeft x = 1
Vlakdeel V kun je door de lijn x = 1 te tekenen verdelen in een rechthoek van 1 bij 9 plus een deel onder de grafiek van f

Dat deel loopt van x = 1 tot x = 9
Y1 = (4X + 5)/(X√(X))  en dan   calc - ∫f(x)dx van (X = 1) tot (X = 9) geeft oppervlakte 22,667
De totale oppervlakte is dan  31,667
Het andere deel heeft dan oppervlakte 81 - 31,667 = 49,333
       
  b. Y1 = (4X + 5)/(X√(X))
Y2 = π • Y1^2
calc - ∫f(x)dx van Y2  van (X = 1) tot (X = 9)  geeft inhoud 260,93

Het stuk tussen x = 0 en x = 1 omwentelen geeft een cilinder met inhoud  π• 92 • 1 = 254,47
De totale inhoud wordt dan 515,40
       
  c. Schuif de grafiek 9 omlaag en wentel dan om de x-as.
Y1 = (4X + 5)/(X√(X))
Y2 = π • Y1^2
calc - ∫f(x)dx van Y2  van (X = 1) tot (X = 9)  geeft inhoud 1014,91
       
  d. Y1 = (4X + 5)/(X√X))
Y2 = X
intersect levert snijpunt (3.1489, 3.1489)
Het vlakdeel bestaat uit een driehoek en een deel onder de grafiek van f

de driehoek omwentelen levert een kegel met inhoud  1/3 • π • 3,14892 • 3,1489 = 32,70

het deel onder de grafiek van f omwentelen:
Y1 = (4X + 5)/(X√X))
Y2 = π • Y1^2
calc - ∫f(x)dx van Y2  van (X = 3,1489) tot (X = 9)  geeft inhoud  82,21

Samen geeft dat een inhoud van 114,91
       
2. x2 - 2x = x
x2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0 ∨ x = 3
Schuif alles 4 omlaag, dan kun je wentelen om de x-as
De formules worden dan   y = x2 - 2x - 4  en  y = x - 4
 
 
  De inhoud daartussen is dan 51,6π - 21π = 30,6π
       
3. x + 3 - 4√x = 3
x - 4√x = 0
√x(√x - 4) = 0
√x = 0  ∨  √x = 4
x = 0  ∨  x = 16

Schuif alles 3 omlaag dan kun je wentelen om de x-as
De formule wordt dan  y = x - 4√x
 
       
4. a. Zoek het minimum van f
f ' = 1 • √(x + 3) + x • 1/2√(x + 3) = 0
vermenigvuldig met  2√(x + 3), dan krijg je   2x + 6 + x = 0
3x = -6 ⇒ x = -2 ⇒  y = -2 • √1 = -2
Het bereik van f is dus  [-2, →〉
       
  b. x√(x + 3) = √(x + 3)/x
x2 √(x + 3) - √(x + 3) = 0    (en  x ≠ 0)
√(x + 3) • (x2 - 1) = 0
√(x + 3) = 0  ∨   x2 - 1 = 0
x = -3  ∨  x = 1  ∨  x = -1
Dat geeft de punten   (-3, 0) en (-1, -√2)  en (1, 2)
       
  c. Het vlakdeel zit tussen x = -3 en x = -1 (zie de figuur)
   
   
    Het verschil is dan  π • (2 + ln3)  
       
5. Wentel eerst het hele gebied onder de grafiek van f tussen x = 0 en x = 1/2 om de x-as:
 
  Trek nu de kegel die ontstaat door het driehoekje onder de grafiek van f om de x-as te wentelen er weer af.
Die kegel heeft inhoud  1/3 • π • 0,52 • 0,5 = 1/24π
Dan houd je over  3/8π - 1/24π = 1/3π
       
6. a.
    deel alles door 2,5 en je hebt de gevraagde formule.  
       
  b. h = 1  geeft  V = 3p/40 en dan is de ton helemaal vol.
neem daar 3/4 deel van:  V = 9/160π
Y1 = π/40 • (2X + 3X2- 2X3 )
Y2 = 9/160π
intersect levert dan  h = 0,72  dus dat is 72 cm
       
7. a. f(x) = 0
87x - 3x2 - 2x3 = 0
x(87 - 3x - 2x2) = 0
x = 0 ∨  x = (3 ±√(9 + 4•87•2))/-4 = (3 ±√(705))/-4
x = 0  ∨  x = 5,89  ∨  x = -7,39
De nulpunten zijn  x = 0 en x = 5,89  dus de lengte is 5,89 cm.
       
  b.
    = π/36• { (87/2•5,92  - 5,93 - 1/2•5,94) - (0) }
= 61,34 cm3 dus dat is ongeveer 61 cm3
       
8. Eerst het deel onder de grafiek wentelen om de x-as:
I = π • ∫(256/x)dx = π • [256 • lnx]
Het vierkant heeft zijden 16, dus grenzen 17 en 1 invullen:

I = π(256ln17 - 256ln1) = 256πln17

DC wentelen om de x-as geeft  een cilinder met inhoud  π • 162 • 16 = 4096π

Het gevraagde omwentelingslichaam heeft inhoud  4096π - 256πln17
       
9. a. x - 31/2 = 5/(4x - 6)
(4x - 6)(x - 31/2) = 5
4x2 - 14x - 6x + 21 = 5
4x2 - 20x + 16 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 1)(x - 4) = 0
x = 1  ∨  x = 4
B is het punt  (4, 1/2)  
       
  b. Splits het vlakdeel in twee delen:  van  O tot A en van A  tot de x-as
A = (1, -21/2)

linkerdeel:
   
       
    rechterdeel:
een kegel met straal grondvlak  21/2 en hoogte 21/2.
Inhoud  1/3 • π(21/2)2 •  21/2 = 125/24π

Samen geeft dat inhoud  175/24π
       
10.
  m = 1/2(a + b)  dus  A = π(√m)2 = πm =  1/2π(a + b) 
h = b - a  dus  hA = (b - a)  • 1/2π (a + b)
hA = 1/2π (ba + b2 - a2 - ab)
hA = 1/2π(b2 - a2)
en dat is inderdaad  gelijk aan bovenstaande integraal.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)