h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Stel dat A het punt  (0, p) is
Een lijn door A is dan te schrijven als y = ax + p
Raken aan de grafiek:

ax + p = 4 - x2
a = -2x

De tweede geeft  x = -1/2a en dat kun je invullen in de eerste;
a -1/2a + p = 4 - (-1/2a)2
-1/2a2 + p = 4 - 1/4a2
-1/4a2 = 4 - p
a
2 = 4p - 16
a = √(4p - 16)
Als die twee loodrecht op elkaar staan moet gelden:  √(4p - 16) -√(4p - 16) = -1
4p - 16 = 1
4p = 17
p = 41/4.
       
2. Een lijn door (0, 1) is  y = ax + 1
raken:

functies gelijk:  ax + 1 = (x2 + 2x + 2)/x2  ⇒    ax3 + x2 = x2 + 2x + 2  ⇒  ax3 = 2x+ 2

 f(x) = 1 + 2/x + 2/x2  geeft  f '(x) = -2/x2 - 4/x3
afgeleides gelijk:   a = -2/x2 - 4/x3

De tweede invullen in de eerste:
-2/x2 x3 - 4/x3 x3 = 2x + 2
-2x - 4 = 2x + 2
-6 = 4x
x
= -1,5
dan is  a =  -2/x2 - 4/x3 = 8/27 
l is de lijn  y = 8/27x + 1
       
3a. Een lijn door (-q, 0) is de lijn  y = ax + aq

Functies gelijk:    px = ax + aq
Afgeleides gelijk:   p/2√x = a

Vul de tweede in in de eerste:     px = p/2√x x + p/2√x q  
vermenigvuldig met 2√x:    2px = px + pq    px = pq    x = q 
       
3b. Neem p = 1 en teken de raaklijn  door (-q, 0).

Als je nu p vervangt door een ander getal, dan wordt de grafiek van f vermenigvuldigd met factor p tov de x-as.
Dat betekent dat de helling van  de getekende raaklijn ook p keer zo groot wordt (Δy wordt p keer zo groot, Δx blijft gelijk)

Maar de afgeleide van f wordt ook p keer zo groot.

De lijn blijft dus raken....
       
4. Lijn door P :  y = ax + b  geeft  7 = 15a + b  dus  b = 7 - 15a  en de lijn is  y = ax + 7 - 15a
Snijden met de parabool:  x2 = ax + 7 - 15a
Hellingen met elkaar vermenigvuldigd zijn -1:   a 2x = -1  dus  x = -1/2a 
Tweede invullen in de eerste:   1/4a2 = -1/2 + 7 - 15a
1 = -2a2 + 28a2 - 60a3
1 = 26a2 - 60a3
Invoeren in de GR en dan intersect geeft  a = -1/6
Dan is  x = 3 en het snijpunt is  (3, 9).
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)