|
|||||
| 1. | f '(x)
= 400x - 300 g '(x) = 100/√x intersect geeft x = 1 f(1) = 199 g(1) = 200 De grafiek van f moet dus 1 omhooggeschoven worden. |
||||
| 2. | Hiernaast zie je voor
een aantal waarden van p de grafieken van y = lnx
en y = px2 Er is één snijpunt als de grafieken elkaar raken. Dat is zo ergens tusen p = 0,1 en p = 0,01, als de grafieken elkaar raken. Wanneer raken de grafieken van y = px2 en y = lnx elkaar? afgeleides gelijk: 1/x = 2px functies gelijk lnx = px2 Uit de eerste volgt p = 1/2x² en dan geeft de tweede dat lnx = 1/2 Dat betekent x = √e en p = 1/2e |
 |
|||
| 3. | f0(x)
= x2 en f4(x) = (x
- 4)2 + 8 = x2 - 8x + 24 Stel k is de lijn y = ax + b k raakt f0 x2 = ax + b en 2x = a 2x = a geeft x = 0,5a en dat kun je invullen in de eerste: 0,25a2 = 0,5a2 + b ofwel b = -0,25a2 .....(1) k raakt f4: x2 - 8x + 24 = ax + b en 2x - 8 = a 2x - 8 = a geeft x = 0,5a + 4 en dat kun je invullen in de eerste: (0,5a + 4)2 - 8(0,5a + 4) + 24 = a(0,5a + 4) + b 0,25a2 + 4a + 16 - 4a - 32 + 24 = 0,5a2 + 4a + b 0 = 0,25a2 + 4a + b - 8 Vul nu hier vergelijking (1) voor b in: 0 = 0,25a2 + 4a - 0,25a2 - 8 Daaruit volgt vrij eenvoudig a = 2 en dan is b = -0,25a2 = -1 k is de lijn y = 2x - 1 |
||||
| 4. | x2 + ax
= cx + a ....(1) x2 + ax = b√x ....(2) 2x + a = c ....(3) c = b/(2√x) ....(4) (3) invullen in (1), (2), en (4): x2 + ax = 2x2 + ax + a ⇒ a = -x2 ....(5) x2 + ax = b√x ....(6) 2x + a = b/(2√x) ....(7) (5) invullen in (6) en (7): x2 - x3 = b√x 2x - x2 = b/2√x ⇒ 4x√x - 2x2√x = b Vul de laatste in in de bovenste: x2 - x3 = (4x√x - 2x2√x) • √x x2 - x3 = 4x2 - 2x3 0 = 3x2 - x3 0 = x2(3 - x) x = 0 ∨ x = 3 de laatste geeft het raakpunt (3, -18) (dat geeft a = -9 en c = -3 en b = -6√3) Zie de figuur hiernaast! |
|
|||
| 5. | ax2
= 2x geeft x = 2/a f '(x) = 2ax dus f '(2/a) = 2a • 2/a = 4 tanα = 4 geeft α = 75,96° tanα = 2 geeft α = 63,43° De hoek tussen de grafieken is dan 75,96 - 63,43 = 13° |
||||
| 6. | a. | Als
f en m elkaar raken dan hebben ze dezelfde helling, dus is
3/4 = f ' f(x) = 2√(3x - 4).= 2(3x - 4)0,5 f ' = 0,5 •2•(3x - 4)-0,5 • 3 f ' = 3•(3x - 4)-0,5 = 3/4 (3x - 4)-0,5 = 1/4 (3x - 4)0,5 = 4 3x - 4 = 16 3x = 20 x = 20/3 dan is y = 2√(16) = 8 het punt op l met x-coördinaat 20/3 heeft nu y-coördinaat 3/4 • 20/3 = 5 Dus dat punt moet 3 omhoog worden geschoven. Dus c = 3 |
|||
| b. | De
lijn gaat door O en krijgt dus vergelijking y = ax Als die de grafiek van f raakt, dan moeten de functiewaarden én de afgeleiden gelijk zijn. Dus moet gelden ax = 2√(3x - 4) én a = 3•(3x - 4)-0,5 De tweede invullen in de eerste: 3•(3x - 4)-0,5 • x = 2√(3x - 4) 3x = 2(3x - 4) 3x = 6x - 8 x = 8/3 dan is a = 3•(3x - 4)-0,5 = 3/2 a krijg je door de oorspronkelijke helling 3/4 met p te vermenigvuldigen. 3/4p = 3/2 p = 2 |
||||
| 7. | f(1/3π)
= 2 • 1/2√3
- 1/2√3
= 1/2√3 k(1/3π) = 1/2 • √3 = 1/2√3 f(1/3π) = k(1/3π) dus ze gaan door het zelfde punt. f '(x) = 2cos(x) - 2cos(2x) f '(1/3π) = 2 • 1/2 - 2 • -1/2 = 2 k '(x) = 1/2 • 1/(cos2x) k'(1/3π) = 1/2 • 1/1/4 = 2 f '(1/3π) = k '(1/3π) dus de grafieken hebben in dat snijpunt dezelfde helling. Dus raken ze elkaar. |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
