© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. a. 2/x2 - 3/x = 0
vermenigvuldig met x2
2 - 3x = 0
x = 2/3
Het snijpunt is  (2/3, 0)
       
  b. f(x) =  -2/x - ln(x3) = -2x-1 - ln(x3)
f  ' = 2x-2 - 1/x3 · 3x2  = 2/x2 - 3/x en dat is inderdaad h
       
  c. f ' = 0  geeft dan  x = 2/3  (zie vraag a)
y =   -2/x - ln(x3) = -1,78
tekenbeeld van f ':    (0)Χ+++++(2/3)------
 de grafiek gaat van stijgend naar dalend dus het is een maximum. 
       
  d. f '  = 2x-2 - 3x-1
f '' = -4x-3 + 3x-2 = 0
vermenigvuldig met x3 
-4 + 3x = 0
x = 4/3 
       
2. a.  f :  x → 2ln2x - 2lnx
f ' =  4lnx · 1/x - 2/x   = 4lnx/x - 2/x
   
    f '' = 0  als  5 - 4lnx = 0
lnx = 1,25
x = e1,25 
y = 2 (1,25)2 - 2 · 1,25 = 0,625
       
  b. snijpunten met de x-as:
2ln2x - 2plnx  = 0
2lnx (lnx - p) = 0
lnx = 0  ∨  lnx = p
x = 1  ∨  x = ep

f ' = 4lnx/x - 2p/x

f ' (1)  = 4ln1/1 - 2p/1 = -2p  dus de raaklijn is  y = -2px + b 
0 = -2p • 1 + b  geeft  b = 2p
De eerste raaklijn is de lijn   y = -2px + 2p

f '(ep) = 4p/ep - 2p/ep = 2p/ep  dus de raaklijn is  y = 2p/ep  · x + b
0 = 2p/ep  · ep + b
0 = 2p + b
b = -2p en dat geeft raaklijn  y =  2p/ep  · x - 2p

snijden van de twee raaklijnen:
2p/ep  · x - 2p = -2px + 2p
2p • (1/ep - 1) = 2p • (-x + 1)
1/ep - 1 = -x + 1
x = 2 - 1/ep 
omdat ep altijd groter dan nul is, is x altijd kleiner dan 2
het geldt dus voor elke p!
       
3. a.  f2:   x → 2√x - lnx
f ' = 1/√x - 1/x = 0
vermenigvuldig met x:   √x - 1 = 0
x = 1
de extreme waarde van f2 is het punt  (1, 2)

Als x van de bovenkant naar nul nadert, dan nadert √x naar nul en lnx naar -∞
Dus gaat f naar +∞  dus is de lijn x = 0 verticale asymptoot van F2.

f '' = -0,5x-1,5 + x-2 = 0
vermenigvuldig met x2:   -0,5x0,5 + 1 = 0
x0,5 = 2
x = 4
het buigpunt is het punt  (4, 4 - ln4)
       
  b. fp ' = p/2√x - 1/x = 0
vermenigvuldig met 2x:   p√x - 2 = 0
√x = 2/p
x = 4/p2
y = 2 - lnx
Dit laatste is dus de vergelijking van de verzameling van punten met raaklijn evenwijdig aan de x-as.
       
4.  f :  x → 3sin3x
f ' =  9sin2x • cosx
f '' = 18sinx • cosx • cosx  + 9sin2x • -2sinx
f  ''  = 0  geeft  18sinx(cos2x - sin2x) = 0
sinx = 0  ∨  cos2x = 0
op [-1/2π, 1/2π]  geeft dat de oplossingen  x = 0 ∨  x = 1/4π ∨  x = -1/4π
Dat zijn dus drie buigpunten
       
5. a. met de productregel:
f '(x) = 2x • ex + (x2 + 1) • ex 
=  ex • (2x + x2 + 1)
=  ex • (x + 1)2
       
  b. nulpunten:
f = 0  geeft  (x2 + 1)•ex = 0   ofwel  x2 + 1 = 0  ∨  ex = 0
beiden hebben geen oplossingen

extremen:
f '= 0  geeft  (x + 1)2 • ex  = 0  ofwel  (x + 1)2 = 0  ∨  ex = 0
Dat geeft als enige oplossing x = -1
Maar daar wisselt f ' niet van teken (bijv.  f '(-2) = 0,13 en  f' (0) = 1 en dat is beiden positief)
Dus is er ook daar geen extreme waarde.
       
  c. f '' = 2(x + 1) • ex  +  (x + 1)2 • ex  = 0
ex • (2x + 2 + x2 + 2x + 1) = 0
ex • (x2 + 4x + 3) = 0
ex • (x + 3)(x + 1) = 0
ex = 0  ∨   x = -3  ∨  x = -1

f '' (-4) ≈ 0,055
f '' (-2) ≈ -0,14
f '' (0) = 3
Dus bij x = -3 en x = -1 wisselt  f '' wel van teken dus zijn dat de x-coφrdinaten van de buigpunten.
       
6. B = (p, 2p3) 
f '(x) = 6px - 3x2
f '(p) = 6p2 - 3p2 = 3p2  en dat is de helling van de buigraaklijn.
De buigraaklijn is de lijn   y = 3p2x + b
(p, 2p3) invullen:   2p3 = 3p2 • p + b
2p3 = 3p3 + b
b = -p3
De buigraaklijn is de lijn y = 3p2x  - p3 
Voor punt C geldt:  0 = 3p2x - p3
3p2x = p3
x = 1/3p
Dus OC = 1/3p
OA = 3p   dus  CA =  3p - 1/3p = 8/3p
8/3p is inderdaad acht keer zo groot als 1/3p
       
7. a. Stel de lijn y = ax  
   

    Stel nu  f(x) = ax  en vul deze a daar in:  
   

 
    Daaruit volgt  px - 1 = 1 ⇒  px = 2 ⇒  2x = 2  ⇒ x = 1  
    Het raakpunt is dan  (1, e2)  
       
  b. Met de f ' uit vraag a:  
   

    Dat is nul als de teller nul is:
epx • x • (-2px + p2x2 + 2) = 0
epx  = 0   ∨  x = 0   ∨  p2x2 - 2px + 2 = 0
epx is nooit nul, en voor x = 0 bestaat de functie niet, dus blijft over   p2x2 - 2px + 2 = 0
De discriminant daarvan is   (-2p)2 - 4p2  2 = 4p2 - 8p2 = -4p2
Dat is voor elke p  (behalve p = 0) negatief, dus heeft geen oplossing.
p = 0 geeft de functie  y = 1/x en die heeft ook geen buigpunt.
Conclusie:  er is nooit een buigpunt.
       
8.

   
 

       
  f '' = 0  als p - ex = 0  ⇒ ex = p  ⇒  x = lnp
Dan is y =  p/(p + p) = 1/2. 
       
9. de rode is de oorspronkelijk f
de blauwe is f '  (is bijv. nul als de rode een maximum heeft)
de groene is f '' (heeft bijv. nulpunten bij de extremen van de blauwe)
       
10. de blauwe is de oorspronkelijke f
de groene is f '  (is bijv. overal positief, want f stijgt overal)
de rode is f '' (f is overal bol, dus f '' negatief)
       
11. f ' = 1/2 • x2 + 2ax
f '' = x + 2a
f '' = 0  als  x = -2a    dus daar ligt het buigpunt van f

raken:
f ' = g '  geeft     1/2 • x2 + 2ax =  2x + b  dus (met x = -2a)   2a2 - 4a2 = -4a + b   dus  b = -2a2 + 4a
f = g  geeft   1/6 • x3 + ax2 = x2 + bx
b en x vervangen:   -8/6 • a3 + 4a3 = 4a2 + 4a3 - 8a2 
-8/6 • a3  + 4a2 = 0
a2 • (-8/6a + 4) = 0
a = 0  ∨  a = 3 
dus  a = 0  en   b = 0
of  a = 3  en  b = -6
       
12. f(x) = ex - 2e-2x
f '(x)= ex + 4e-2x
f ''(x) = ex - 8e-2x  = 0
noem ex = p dan staat er  p - 8/p² = 0
p3 - 8 = 0
p = 2
ex = 2  geeft  x = ln2
y = eln2 - 2e-2ln2 = 2 - 2(eln2)-2  = 2 - 2 • 2-2 = 2 - 11/2 = 1/2 
Dat is niet nul, dus het buigpunt is niet gelijk aan het nulpunt.
       
13.     a.      f (x) = 2(2x - 1)3 + 3(2x - 1)2 .
f '\(x) = 3 • 2(2x - 1)2 • 2 + 2 • 3(2x - 1) • 2
f '(x) = 12(2x - 1)2 + 12(2x - 1)
f '(x) = 12(4x2 - 4x + 1) + 24x - 12
f '(x) = 48x3 - 48x + 12 + 24x - 12
f '(x) = 48x3 - 24x
       
  b. f '(x) = 48x2 - 24x
f '' (x) = 96x - 24
f ''(x) = 0 geeft  x =  1/4
f(1/4) = 1/2  dus het raakpunt is  (1/4, 1/2)
f '(1/4) = -3  dus de raaklijn is  y = -3x + b
Die moet door  (1/4, 1/2) gaan dus  1/2 = -3 • 1/4 + b en dat geeft  b = 5/4
De buigraaklijn heeft vergelijking  y = -3x + 5/4
       
14. f ' = 3x2 - 12x + p
f '' = 6x - 12
f '' = 0  geeft  x = 2 dus het buigpunt bevindt zich bij x = 2
Daar is de helling  f '(2) = -12 + p
-12 + p = -2
p = 10
f(2) = 8 - 24 + 20 - 4 = 0  dus het buigpunt is  (2, 0)
-2x + b = 0
-4 + b = 0
b = 4
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)