© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. f(x) = 2x2 + 8x + 7
f ' = 4x + 8 = 0
4x = -8
x = -2 en dan is y = 2 • (-2)2 + 8 • -2 + 7 = -1
(-2, -1) is een minimum
       
  b. y = x3 - 9x2 + 24x - 24
y ' = 3x2 - 18x + 24 = 0
x2 - 6x + 8 = 0
(x - 4)(x - 2) = 0
x = 4 ∨  x = 2
Dat geeft  y = -8  en  y = -4
(2, -4) is een maximum en  (4, -8) is een minimum
       
  c. y = √x - 2x
y ' = 0,5 • x-0,5 - 2 = 0
0,5x-0,5 = 2
x-0,5 = 4
x = 41/-0,5 = 1/16  en dan is  y = 1/8
(1/16, 1/8) is een maximum
       
  d. f(x) = 1/x + 4x2
f '(x) = -x-2 + 8x = 0
-1/x2 + 8x = 0
-1 + 8x3 = 0
8x3 = 1
x3 = 1/8
x = 1/2 en dan is y = 3
(1/2, 3) is een minimum 
       
  e. f(x) = 8/x² + 2x - 3
f ' =  -2 • 8x-3 + 2 = 0
-16/x3 + 2 = 0
-16 + 2x3 = 0
2x3 = 16
x3 = 8
x = 2  en dan is y = 3
(2, 3) is een minimum
       
  f. y =  x√x - 0,75x2 
y ' =  1,5x0,5 - 1,5x = 0
1,5x0,5(1 - x0,5) = 0
x0,5 = 0  ∨  1 - x0,5 = 0
x = 0  ∨   x = 1
Dan is  y = 0  ∨  y = 0,25
(0, 0) is een randpunt en (1, 0.25) is een maximum
       
2. y = ax2 + bx + c
y '  = 2ax + b = 0
2ax = -b
x = -b/2a
       
3. a. Als hij er d dubbeltjes afhaalt wordt de prijs  1,50 - 0,1d
Hij verkoopt dan 250 + 20d ijsjes
Dat levert op  (250 + 20d)(1,50 - 0,1d) = 375 - 25d + 30d - 2d2 = -2d2 + 5d + 375
       
  b. O' = -4d + 5 = 0
4d = 5
d = 1,25
dat is 12,5 cent afname, dus de prijs wordt 1,38 of  1,37
       
4. a. De waarde daalt als de afgeleide negatief is.
W ' = 2,1t2 - 70t + 500 = 0
ABC-formule:   t = (70 ±√(4900 - 4200))/4,2  = 22,97 of 10,37
Dus van t = 10 tot en met t = 22 daalt de waarde.   
       
  b. De afgeleide is dus gelijk aan 100
2,1t2 - 70t + 500 = 100
2,1t2 - 70t + 400 = 0
ABC-formule:   t = (70 ±√(4900 - 3360))/4,2  = 26,0 of 7,3
Dus ongeveer in maand 26 en maand 7
       
5. a. f ' = 2 - 8 · 0,5 · x-0,5
f '(1) = 2 - 4 = -2 dus de raaklijn is de lijn  y = -2x + b
f(1) = 2 - 8 = -6 dus de raaklijn moet door (1,-6) gaan
-6 = -2 · 1 + b ⇒   b = -4
de raaklijn is  y = -2x - 4
       
  b. fa ' =  2a - 8 · 0,5 · x-0,5 = 2a - 4/√x
Dat is nul als x = 16:   2a - 4/4 = 0  ⇒  a = 1/2
y = 2 · 1/2 · 16  - 8√16 = 16 - 32 =  -16   
       
6.  f(x) = x - a√(x + 1)
f '(x) = 1 - a/2√(x + 1) = 0
2√(x + 1) = a
√(x + 1) = 1/2a
x + 1 = (1/2a)2 = 1/4a2
x = 1/4a2 - 1
y = 1/4a2 - 1 - a√(1/4a2 - 1 + 1)
y = 1/4a2 - 1 - a · 1/2a
y = 1/4a2 - 1 - 1/2a2
y = -1/4a2 - 1
y = -3 geeft dan   -1/4a2 - 1 = -3
1/4a2 = 2
a2 = 8
a = ±√8
Voor a = -√8 is er geen minimum, dus de enige oplossing is  a = √8
       
7. Bij het getal x maakt hij de fout  √x - x
Dat is maximaal als de afgeleide nul is.
1/2√ - 1 = 0
1 - 2√x = 0
√x = 1/2
x = 1/4
De fout is dan  √1/4 - 1/4 = 1/4.
       
8. a. T = 1680/t - 8400/t²   = 1680t-1 - 8400t-2
T ' = -1680t -2 + 2 · 8400t -3
T '(5) = -1680 · 5-2 + 2 · 8400 · 5-3 = 67,2
Dat is positief dus T stijgt.
       
  b. T ' =  0
-1680t -2 + 2 · 8400t -3  = 0
-1680t + 2 · 8400 = 0
1680t = 16800
t = 10
T(10) = 1680/10 - 8400/100 = 84% toename
       
9. a. f0,57(x) = x3 + 3x2 + 0,57x + 0,57
f ' = 3x2 + 6x + 0,57 = 0
ABC-formule:   x = (-6 ±√(36 - 6,84))/6 = (-6 ± 5,4)/6 = -0,1  of  -1,9
Dat  geeft  y = 0,542  en  y = 3,458
De extremen zijn (-0.1, 0,542)  en  (-1.9, 3,458) 
       
  b. f ' = 3x2 + 6x + 2
f '(1) = 3 + 6 + 2 = 11  du de raaklijn is  y = 11x + b
f(1) = 1 + 3 + 2 + 2 = 8, dus het raakpunt is  (1, 8)
8 = 11 · 1 + b   geeft  b = -3
De raaklijn is dan y = 11x - 3  
       
  c. neem x = -1
dan is  y = (-1)3 + 3(-1)2 + p · -1 + p  = -1 + 3 - p + p = 2
Dat voor elke p zo, dus omdat x = -1 altijd y = 2 oplevert gaat elke grafiek door (-1, 2)
       
  d. f ' = 3x2 + 6x + p = 0
Dat heeft geen oplossing als de discriminant kleiner dan nul is.
b2 - 4ac  = 36 - 12p < 0
dan is  12p > 36
dus p > 3
Vanaf p = 3 heeft de grafiek geen extremen meer.
(Bij p = 3 zelf is de helling nog wel horizontaal, maar is het ook al geen maximum of minimum meer) 
       
10. De eenvoudigste tweedegraadsfunctie is y = x2  maar die heeft hellinggrafiek y = 2x  en die twee raken elkaar niet.
Probeer daarom bijv.  y = x2 + c
die heeft helinggrafiek y = 2x
Als die elkaar raken dan moet de helling 2 zijn (want dat is de helling van de lijn y = 2x)
x2 + c heeft helling 2 bij x = 1
y = 2x gaat door (1, 2) dus moet y = x2 + c daar ook door gaan.
2 = 12 + c  geeft dan c = 1
Een eenvoudig voorbeeld is dus de grafieken van y = x2 + 1  en y = 2x
       
11. a.  L(t) = 90t - 20t1,5
L = 0 geeft dan   90t - 20t1,5  = 0
t(90 - 20t0,5)  = 0
t = 0  ∨ 90 - 20t0,5 = 0
t = 0  ∨  t0,5 = 4,5
t = 0 ∨  t = 4,52 = 20,25
Als t = 0 op 18 november is, dan is t = 20  op 8 december en dat is na 5 december
       
  b. L ' = 0
L ' = 90 - 1,5 · 20t0,5  = 0
90 = 30t0,5
t0,5 = 3
t = 9
dan is L(9) = 90 · 9 - 20 · 91,5 = 270
       
  c. Als hij 24 letters minder verkoopt dan is L '= -24
90 - 1,5 · 20t0,5 = -24
30t0,5 = 114
t0,5 = 3,8
t = 3,82 = 14,44
Dus dag 14 of 15 neemt het aantal ongeveer 24 per dag af.
       
12. a. T(w) = -w3 + 4w2 + 12w
T ' = -3w2 + 8w + 12 = 0
ABC-formule:  w = (-8 ±√(64 + 144))/-6 = 3,73  of  -1,07
T(3) = 45 en T(4) = 48 dus het maximum is 48 uren, in week 4
       
  b. Noem de tijden voor de spellen  T1 en T2.
T '  = T1' + T2'
T1' = -3 · 12 + 8 · 1 + 12 = 17 uur per week toename
T2' = -3 · 22 + 8 · 2 + 12 = 16 uur per week toename
Samen geeft dat 33 uur per week toename en dat is 4,7 uur per dag.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)