h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 8sin2x - 2sinx - 1 = 0  noem sinx = p
8p2 - 2p - 1 = 0
ABC-formule:  p = (2 √(4 + 32))/16 = (2 6)/16 = 1/2  of  -1/4
sinx1/2   ∨   sinx = - 1/4
x1/6π + k2π  x = 5/6π + k    x = sin-1(- 1/4) ≈ -0,25 + k2π    x = π - - 0,25 = 3,39 + k
In [0, 2π] geeft dat de oplossingen  { 1/6π,  5/6π,  3.39,  6.03}
       
  b. cosx = 1 - 2│cosx   noem cosx = p
p
= 1 - 2 |p|

p > 0 geeft  p = 1 - 2p  en   p = 1/3
p < 0 geeft  p = 1 + 2p  en  p = -1

cosx = 1/3 
   cosx = -1
x = cos-1(1/3)
1,23 + k    x = 2π - 1,23 + k2π    x = π + k
In [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {π, 1.23, 5.05} 
       
  c. √(cosx) + 1 = cosx  noem cosx = p   (een leuke variant is ook: noem √cos = p)
p  + 1 = p
p = p - 1
p = (p - 1)2
p = p2 - 2p + 1
p2 - 3p + 1 = 0
ABC-formule:  p = (3 √(9 - 4))/2 = (3 √5)/2 = 2,62  ∨  0,38
cosx = 2,62 heeft geen oplossingen. 
cosx = 0,38
x = cos-1(0,38) = 1,18 + k2π  ∨  x = 2π - 1,18 + k2π
In [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {1.18,  5.10}
       
  d. 4sin3x = sinx  noem sinx = p
4p3 = p
4p3 - p = 0
p(4p2 - 1) = 0
p = 0  ∨   p2 = 1/4
p = 0  ∨  p = 1/2   ∨  p = -1/2
sinx = 0  ∨  sinx = 1/2     sinx = -1/2
x = 0 + k2π  ∨  x = π + k2π ∨  x = 1/6π + k2π    x = 5/6π + k2π   x = 11/6π + k2π    x = 5/6π + k
In [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {0, 1/6π, 5/6π, π, 11/6π,  15/6π, 2π}
       
   

       
    In de figuur zie je dat 4sin3x > sinx  geldt voor     〈1/6π, 5/6π  en  π, 11/6π  en 15/6π, 2π
       
2. a. 2cosx/(1 - cosx) = 2
2cosx = 2(1 - cosx)  noem cosx = p
2p = 2 - 2p
4p = 2
p = 1/2
cosx = 1/2
x = 1/3π   ∨   x = 12/3π
 
       
    Als p oneindig groot wordt, gaat  2p/(1 - p) naar -2 toe
Maar als p = cosx dan varieert die p steeds nog tussen 1 en -1, dus zal cosp helemaal niet oneindig groot worden.
Je kunt p wel naar oneindig laten gaan, maar cosp niet!
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)