|
|||||
| 1. | a. | sinx + cosx = 0,5 √(12 + 12)sin(x + Φ) = 0,5 en tanΦ = 1/1 = 1 ⇒ Φ = 1/4π √2sin(x + 1/4π) = 0,5 sin(x + 1/4π) = 0,5/√2 = 1/4√2 x + 1/4π = sin-1(1/4√2) = 0,361 + k2π ∨ x + 1/4π = π - 0,361 = 2,780 + k2π x = -0,424 + k2π ∨ x = 1,995 + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {2.00, 5.86} |
|||
| b. | 4sinx + 3cosx = 3
√(42 + 32) sin(x + Φ) = 3 en tanΦ = 3/4 ⇒ Φ = 0,644 5sin(x + 0,644) = 3 sin(x + 0,644) = 3/5 x + 0,644 = 0,644 + k2π ∨ x + 0,644 = π - 0,644 = 2,498 + k2π x = 0 + k2π ∨ x = 1,854 + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {0, 1.854, 2π} |
||||
| c. | 6sinx + 2cosx = -5 √(62 + 22)sin(x + Φ) = -5 en tanΦ = 2/6 ⇒ Φ = 0,322 √40sin(x + 0,322) = -5 sin(x + 0,322) = -5/√40 = -0,791 x + 0,322 = sin-1(-0,791) = -0,912 + k2π ∨ x + 0,322 = π - - 0,912 = 4,053 + k2π x = -1,234 + k2π ∨ x = 3,731 + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {3.73, 5.05} |
||||
| d. | 4sinx - cosx = 2 √(42 + 12)sin(x - Φ) = 2 en tanΦ = 1/4 ⇒ Φ = 0,245 √17sin(x - 0,245) = 2 sin(x - 0,245) = 2/√17 = 0,485 x - 0,245 = sin-1(0,485) = 0,506 + k2π ∨ x - 0,245 = π - 0,506 = 2,636 + k2π x = 0,751 + k2π ∨ x = 2,881 + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {0.75, 2.88} |
||||
| e. | sinx - 5cosx = -4 √(12 + 52)sin(x - Φ) = -4 en tanΦ = 5/1 ⇒ Φ = 1,373 √26sin(x - 1,373) = -4 sin(x - 1,373) = -0,784 x - 1,373 = -0,902 + k2π ∨ x - 1,373 = π - - 0,902 = 4,043 + k2π x = 0,471 + k2π ∨ x = 5,416 + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {0.47, 5.42} |
||||
| f. | -2sinx + 5cosx = 3 -(2sinx - 5cosx) = 3 -√(22 + 52)sin(x - Φ) = 3 en tanΦ = 5/2 ⇒ Φ = 1,190 -√29sin(x - 1,190) = 3 sin(x - 1,190) = -0,557 x - 1,190 = 0,591 + k2π ∨ x - 1,190 = π - 0,592 = 2,550 + k2π x = 1,781 + k2π ∨ x = 3,740 + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {1.78, 3.74} |
||||
| 2. | a. | √3sinx
- cosx = 1 √(3 + 1)sin(x - Φ) = 1 en tanΦ = 1/1 ⇒ Φ = 1/4π 2sin(x - 1/4π) = 1 sin(x - 1/4π) = 1/2 x - 1/4π = 1/6π + k2π ∨ x - 1/4π = 5/6π + k2π x = 5/12π + k2π ∨ x = 13/12π + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {5/12π, 13/12π} |
|||
| b. | sinx + √3cosx
= -√3 √(1 + 3)sin(x + Φ) = -√3 en tanΦ = √3/1 = √3 ⇒ Φ = 1/3π 2sin(x + 1/3π) = -√3 sin(x + 1/3π) = -1/2√3 x + 1/3π = 11/3π + k2π ∨ x + 1/3π = -1/3π + k2π x = π + k2π ∨ x = -2/3π + k2π in [0, 2π] geeft dat de oplossingen {π, 11/3π} |
||||
| 3. | a. | 3sinx + 2cosx = a √(32 + 22) sin(x + Φ) = a √13sin(x + Φ) = a sin(x + Φ) = a/√13 Dat heeft oplossingen als -1 ≤ a/√13 ≤ 1 Dan is -√13 ≤ a ≤ √13 |
|||
| b. | asinx - 5cosx =
8 √(a2 + 52)sin(x - Φ) = 8 √(a2 + 25) sin(x - Φ) = 8 sin(x - Φ) = 8/√(a2 + 25) Dat heeft oplossingen als -1 ≤ 8/√(a2 + 25) ≤ 1 -√(a2 + 25) ≤ 8 ≤ √(a2 + 25) 8 ≤ √(a2 + 25) (want 8 is altijd groter dan -√(a2 + 25)) a2 + 25 ≥ 64 a2 ≥ 39 a ≤ -√39 ∨ a ≥ √39 |
||||
| 4. | a. | 3sinx - cosx
= 0 √(32 + 1)sin(x - Φ) = 0 en tan Φ = 1/3 ⇒ Φ = tan-1(1/3) = 0,322 √10sin(x - 0,322) = 0 sin(x - 0,322) = 0 x - 0,322 = 0 + kπ x = 0,322 + kπ In [0, 2π] geeft dat de nulpunten 0,32 en 3,46 |
|||
| b. | f ' = 1 3cosx + sinx = 1 √(12 + 32)sin(x + Φ) = 1 en tan Φ = 3/1 = 3 ⇒ Φ = 1,249 √10sin(x + 1,249) = 1 sin(x + 1,249) = 1/√10 = 0,316 x + 1,249 = 0,322 + k2π ∨ x + 1,249 = π - 0,322 = 2,820 + k2π x = -0,927 + k2π ∨ x = 1,571 + k2π In [0, 2π] geeft dat x = 1,57 en x = 5,36 |
||||
| 5. | a. | psinx + cosx
= √(p2 + 1)sin(x +
Φ) en tanΦ
= 1/p Als de formules gelijk zijn, dan moet gelden Φ = 1/3p ⇒ tanΦ = √3 Dus 1/p = √3 ⇒ p = 1/√3 Dan is a = √(p2 + 1) = √(4/3) (Voor de liefhebbers: dat is 2/3√3) |
|||
| b. | y = asin3x y'= 3acos(3x) dus bij x = 1/6π is de helling 3acos(3/6π) = 0 Dan moet psinx + cosx daar ook helling nul hebben. pcosx - sinx = 0 voor x = 1/6π p • cos(1/6π) - sin(1/6π) = 0 p • 1/2√3 - 1/2 = 0 p • 1/2√3 = p = 1/√3 = 1/3√3 Het raakpunt heeft dan y = 1/3√3sin1/6π + cos 1/6π = 1/3√3 • 1/2 + 1/2√3 = 2/3√3 Het punt (1/6π, 2/3√3) moet op y = asin3x liggen Dat geeft 1/2√3 = a • sin(3/6π) 1/2√3 = a |
||||
| 6. | 2 • sinx/cosx
+ 5 - 3/cosx = 0 2sinx + 5cosx - 3 = 0 (en cosx ¹ 0) 2sinx + 5cosx = 3 √(22 + 52) sin(x + Φ) = 3 en tanΦ = 5/2 ⇒ Φ = 1,19 √29sin(x + 1,19) = 3 sin(x + 1,19) = 3/√29 = 0,557 x + 1,19 = 0,59 + k2π ∨ x + 1,19 = π - 0,59 + k2π x = -0,60 + k2π ∨ x = 1,36 + k2π In [0, 2π] geeft dat de oplossingen {1.36, 5.68} |
||||
| 7. | 3sinx + 2cosx
+ 4 = √(32 + 22)sin(x + Φ) + 4 = √(13)sin(x + Φ) + 4 omdat sin(x + Φ) altijd tussen -1 en 1 zit, zit √13sin(x + Φ) tussen -√13 en +√13 tel er 4 bij op en je krijgt een getal tussen 4 - √13 en 4 + √13 Dat is ongeveer tussen 0,39 en 7,61 dus altijd groter dan nul. |
||||
| 8. | 6sinx + 8cosx
= p √(62 + 82)sin(x + Φ) = p 10sin(x + Φ) = p sin(x + Φ) = p/10 Dat heeft oplossingen als -1 ≤ p/10 ≤ 1 Dus als -10 ≤ p ≤ 10 Er zijn dus geen oplossingen als p > 10 of p < -10 |
||||
| 9. | a. | f(x) = acosx +
bsinx f '(x) = -asinx + bcosx -asinx + bcosx = f(x) + 7cosx + sinx -asinx + bcosx = acosx + bsinx + 7cosx + sinx sinx • (-a - b + 1) + cosx • (b - a - 7) = 0 Omdat dat voor elke x moet gelden, kan dat alleen als -a - b + 1 = 0 en b - a - 7 = 0 de eerste geeft a = 1 - b en dat kun je invullen in de tweede: b - (1 - b) - 7 = 0 b - 1 + b - 7 = 0 2b = 8 b = 4 en dan is a = 1 - b = -3 |
|||
| b. | f '
(x) = f(x) + 7cosx + sinx de afgeleide van ex is weer ex de functies moeten gelijk zijn en ook hun afgeleides, dus moet gelden; f(x) = ex en ook f(x) + 7cosx + sinx = ex Dus is f(x) = f(x) + 7cosx + sinx 7cosx + sinx = 0 √(72 + 12)sin(x + Φ ) = 0 met tan Φ = 7/1 ⇒ Φ = 1,43 sin(x + 1,43) = 0 x + 1,43 = 0 + k2π ∨ x + 1,43 = π + k2π x = -1,43 + k2π ∨ x = 1,71 + k2π tussen 0 en π geeft dat de oplossing x = 1,71 dan is y = e1,71 = 5,54 Het raakpunt is ongeveer (1.71, 5.54) |
||||
| c. | f '
(x) = f(x) + 7cosx + sinx f '' (x) = f '(x) - 7sinx + cosx f '' (x) = f (x) + 7cosx + sinx - 7sinx + cosx f '' (x) = f (x) - 6sinx + 8cosx = 0 f(x) = 6sinx + 8cosx y = 10 geeft dan 6sinx + 8cosx = 10 √(62 + 82)sin(x + Φ) = 10 met tanΦ = 8/6 ⇒ Φ = 0,927 10sin(x + 0,927) = 10 sin(x + 0,927) = 1 x + 0,927 = 1/2π x = 1/2π - 0,927 = 0,64 f ' (x) = 10 + 7cos0,64 + sin0,64 = 16,2 |
||||
| 10. | Als de periode 0,01
is, dan staat in de formule 2π/0,01
= 200π. f(x) = a • sinb(x - c) = 5sin200πx (kies c = 0) g(x) = d • sinb(x - e) = 3sin200π(x - 1/6) = 3(sin200πx • cos200π • 1/6 - cos200πx• sin200π • 1/6) = 3(sin200πx • -0,5 - cos200πx • -0,866) = -1,5 • sin200πx + 2,598 • cos200πx f + g = 5sin200πx - 1,5 • sin200πx + 2,598 • cos200πx = 3,5sin200πx + 2,598cos200πx = √(3,52 + 2,5982)sin(x - Φ) met tan Φ = 2,598/3,5 ⇒ Φ = 0,64 = 4,36 • sin(x - 0,64) De amplitude is dus 4,36 en de fase 0,64 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||