© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. a is de amplitude en die is a = 50.
de periode is 28 dagen dus  b = 2π/28 = 0,224
       
  b. Voer in de rekenmachine in  Y1 = 50 • sin(2πt/28) en Y2 = -25
INTERSECT  levert  t ≈ 16,3  en  t ≈ 25,7
Daartussen liggen 9,4 dagen per periode van 28. Dat is ongeveer 33%.

OF

Algebraïsch:
50 • sin(2πt/28) = -25 
⇒ sin(2πt/28) = -0,5
⇒ 2πt/28 = 7π/6  of  2πt/28 = 11π/6
⇒ t = 196/12  of  t = 308/12  en verder gaat het zoals in de 1e oplossing.
       
  c. F heeft amplitude 50 en periode 23 dagen.
Dat geeft de formule  F(t) = 50 • sin(2πt/23)
De eerste verjaardag duurt van  t = 365 tot t = 366  of van t = 366 tot t = 367 (in een schrikkeljaar)
Een plot van F(t) tussen bijvoorbeeld t = 360 en t = 370 laat zien dat F daar stijgt.
       
  d. I heeft amplitude 50 en periode 33 dagen.
Dat geeft de formule  I(t) = 50 • sin(2πt/33)
Het aantal verstreken dagen tot 1 januari 2001 is  18 • 365 + 5 = 6575
Een plot van F en I tussen t = 6575 en t = 6585 laat zien dat t = 6578, 6579 en 6580 de gezochte dagen zijn.
Dat zijn dus  4, 5 en 6 januari.
(Als Annelies 's avonds is geboren kun je uitkomen op  5, 6 en 7 januari)
       
2 a. De formule heeft de algemene vorm  T = a • sin b•(u - c)  + d
a = amplitude = 4,4
periode is 24 dus  b = 2π/24 = π/12
c = beginpunt = 9
d = evenwichtlijn = 16,6
Dat geeft samen  T = 4,4 • sin ((π/12)•(x - 9)) + 16,6
       
  b. Plot de grafiek op de GR en gebruik INTERSECT om de snijpunten van deze grafiek met de lijn y = 10 te vinden.
Dat geeft u = 12,262  en  u = 19,738.
Daartussenin is u groter dan 10, dus dat is gedurende  19,738 - 12,262 = 7,476 uren.
Dat zijn 449 minuten.
       
  c. De grafiek stijgt het snelst op de plaatsen waar zij stijgend door de evenwichtsstand gaat. dat is dus om 10 uur 's ochtends.
De helling om 10 uur 's ochtends bepaal je met de functie CALC - dy/dx van de GR.
Dat levert  1,126 ºC per uur en dat is ongeveer 0,02 ºC/min.
       
3. a. Gebruik de grafische rekenmachine en zet hem op radialen (MODE)
Y1 = 3 + 3sin(0,469x)  en  Y2 = 3,8
Neem window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 8, Ymin = 0, Ymax = 6
Intersect levert  X = 0,5957 en X = 6,1229
De afstand daartussen is 5,5272 en dat is ongeveer 55 mm.
       
  b. SQ heeft lengte √(552 + 672) = 86,7
In punt S en punt Q zal de sinusoïde zich in de evenwichtsstand bevinden.
Tussen S en Q bevinden zich 5 periodes, net als tussen P en Q in de grafiek bij de opgaven.
De periode is daarom  86,68/5 = 17,34
De formule wordt daardoor  y = 3 + 3 sin(2π/17,34 • x) = 3 + 3sin 0,362x 
       
4. a. |De afstand is een sinusoïde met minimum (10, 0.5)  en (48, 35)
De evenwichtslijn is  (35 + 0,5)/2 = 17,75
De amplitude is  35 - 17,75 = 17,25
De periode is 76 jaar.
Het beginpunt is een kwart periode vóór het minimum, dus t = -9
Dat geeft  A(t) = 17,75 + 17,25 • sin(2π/76(t + 9)) 
       
  b. 1500 miljoen km is  10 AE
10 = 18 + 17sin0,08(t - 65)
-8 = 17sin0,08(t - 65)
-0,47 = sin0,08(t - 65)
0,08(t - 65) = -0,49  ∨  0,08(t - 65) = π - - 0,49
t - 65 = -6,12  ∨   t - 65 = 3,63
t = 58,8  ∨  t = 68,6
Dus voor het eerst in 1958
       
  c. 23000 km/uur is  23000 • 24 • 365 = 201480000 km/jaar
Dat is 201480000/150000000 = 1,3432 AE/jaar
Naar de zon toe betekent dat de afstand kleiner wordt, dus dat de snelheid negatief is.

De snelheid is de afgeleide, dus is gelijk aan  0,08 • 17cos0,08(t - 65)
0,08 • 17cos0,08(t - 65) = -1,3432
cos0,08(t - 65) = -0,9876
0,08(t - 65) = 2,9842 + k2π  ∨   0,08(t - 65) = -2,9842 + k2π
t - 65 = 37,3 + k • 78,5   ∨   t - 65 = -37,3 + k • 78,5
t = 102,3 + k • 78,5  ∨   t = 27,7 + k • 78,5

Dat was tussen t = 0 en t = 100 dus op de tijdstippen   23,8  en   27,7
Dus in 1924 en in 1928
       
5. a. y = 1  geeft  3sinx - 2sin2x = 1
2sin2x - 3sinx + 1 = 0
sinx = (3 ± √1)/4
sinx = 1  ∨  sinx = 1/2
x = 1/2π  ∨  x = 1/6π  ∨  x = 5/6π
A =(1/6π, 1)  en  B = (5/6π, 1)
De afstand daartussen is  2/3π   
       
  b. cos2x = 1 - 2sin2x  dus  2sin2x = 1 - cos2x
f(x) = 3sinx - 1 + cos2x
Een primitieve is  F(x) = -3cosx - x + 1/2sin(2x)
F(π) - F(0) = 6 - π
       
  c. f '(x) = 3cosx  - 4sinx • cosx
f '(0) = 3
Dus moet ook gelden dat  g'(0) = 3
g'(x) = 2ax + b   dus  2a • 0 + b = 3  dus  b = 3

(π, 0) ligt op de parabool:  aπ2 + bπ = 0
b = 3  geeft dan aπ2 = -3π
a = -3/π
       
6. a Y1 = 1 + 2cos(2x + π/3)   (denk erom dat de GR op radialen staat)
Calc - zero  geeft  P(0.52..., 0) en Q(1.57..., 0) en R(3.66..., 0) en S(4.71..., 0)
PS = 4,71... - 0,52... = 4,19...
QR = 3,66... - 1,57... = 2,08...
De verhouding is a = 2

OF

Het kan ook algebraïsch:
1 + 2cos(2x + π/3) = 0
2cos(2x + π/3) = -1
cos(2x + π/3) = -0,5
2x + 1/3π = 2/3π  + k2π  ∨    2x + 1/3π = -2/3π + k2π
2x = 1/3π + k2π  ∨  2x = -π + k2π
x = 1/6π + kπ  ∨   x = -1/2π + kπ
Dat geeft de oplossingen    1/6π,  1/2π, 7/6π, 3/2π
De rest gaat als hierboven.
       
  b. Plot de grafiek van g en lees via calc - minimum/maximum twee toppen (een maximum en een minimum) af.
Dat geeft  bijvoorbeeld  maximum(0.6369, 2.4175)  en  minimum (2.2077, -4.4175)

evenwichtslijn  (2,4175 - 4.4175)/2 = -1 = p
amplitude: 2,4175 - - 1 = 3,418 = q
halve periode is  2,2077 - 0,6369 = 1,5708  dus de periode is 3,1415...  dus  r = 2π/3,1415... = 2 = r
beginpunt is in het maximum,  dus  s = 0,637
       
7. 3200 latten is 100 meter, dus elke lat is  100/3200 = 0,03125 meter
de periode is 760 latten en dat is dus 60 • 0,03125 = 1,875 meter.
in de sinusformule komt dan voor de x een factor 2π/1,875 = 16/15π

het minimum heeft hoogte 17 cm en het maximum hoogte 70 cm
de evenwichtslijn is dan  (17 + 70)/2 = 43,5
de amplitude is dan  70 - 43,5 = 26,5

kies het beginpunt bij x = 0, dan is de formule van de sinusoïde:  H = 43,5 + 26,5sin(16/15πx)
(met x in meter en H in cm)

het laagste punt zit dan bij 3/4 van de periode, dus bij  x = 0,75 • 1,875 = 1,40625
De plank is 1 meter breed, dus loopt van x = 1,40625 - 0,5 tot x = 1,40625 - 0,5
x = 1,40625 - 0,5 = 0,90625
De sinusheeft daar hoogte  H = 43,5 + 26,5sin(16/15π • 0,90625)  = 46,27... cm.

Floortje zit op hoogte 50 cm, dus Annemarie zit lager dan Floortje.
       
8. a. Hoogste punt 5000, laagste punt 1000  dus evenwichtslijn (5000 + 1000)/2 = 3000
amplitude is dan  5000 - 3000 = 2000
toppen tussen t = 1 en t = 11, dus periode 10.
dan staat er in de formule 2π/10
beginpunt waar de sinusoïde stijgend door de evenwichtlijn gaat:  bij t = 1
r(t) = 3000 + 2000sin(2π/10 • (t - 1))
       
  b. een sinusoïde heeft maximale helling op het punt waar de grafiek door de evenwichslijn omhoog gaat.
dat is hier bij  t = 3
Y1 = 4800 + 3400*sin(π/4*(X-3))
calc -  6:dy/dx  en dan X = 3  geeft helling  2700
       
  c. Y1 = 4800 + 3400*sin(π/4*(X-3))
Y2 = 4300
calc - intersect geeft  t = 2,81  of  t = 7,18
r(2,81) = 1200  en  r(7,18) = 3800
Dat zijn de gevraagde twee getallen.
       
9. a. 20:30 is 12,5 uur na 8:00 uur
Een hele rondgang kost 20 uur, dus er is 12,5/20 = 5/8 deel van een rondgang gemaakt.
Er is dus 5/8 deel van de cirkel afgelegd, en dan staat het huis als in de figuur hieronder (midden tussen W en Z).
       
   

       
  b. Het huis is weer om 8:00 uur op de Oostplaats als een aantal keer 20 gelijk is aan een aantal keer 24.
Dat is voor het eerst zo bij zo bij 6 * 20 = 120 = 5 * 24
Dus steeds na 120 uur = 5 dagen is het huis weer om 8:00 op de Oostplaats.
Dat wordt dan op de dagen (steeds 5 dagen later): ma - za - do - di - zo - vr - wo - ma
na 7 series van 5 dagen is het huis op maandag weer om 8:00 op de oostplaats.
Dat is dus 5 weken.
       
  c. Op t = 0 is de afstand dus 30, en wordt die kleiner.
Dat geeft een sinusgrafiek als hiernaast.

Het beginpunt ligt bij de blauwe stip en dat is bij t = 15

Dus d = 15
       
  d. 15 = 30 sin(π/10 • t)
 Y1 = 15 en Y2 = 30 sin(π/10 • X)
 intersect geeft  tussen t = 0 en t = 20  dat  t = 1,667  of  t = 8,3333

-15 = 30 sin(π/10 • t)
 Y1 = -15 en Y2 = 30 sin(π/10 • X)
 intersect geeft  tussen t = 0 en t = 20  dat  t = 11,667  of  t = 18,3333

Het huis zit tussen de -15 en de 15 voor 
t tussen  0 en 1,666...
t tussen 8,3333... en t = 11,666...
t tussen  18,3333... en 20
In totaal is dat 6,6666... van de 20 dagen
Dat is 33%
       
10.       a.       -2cos2(x) + 3 • cos(x) - 1 = 0
Noem cos(x) = a
-2a2 + 3a - 1 = 0
a = (-3 ± √1)/-4  =  1/2  of  1
cos(x) = 1/2  geeft  x = 1/3π
       
  b. -2cos2(x) + p • cos(x) - 1
f  ' = -4cos(x) • sinx + p • sinx
In de top is  f  '= 0
-4cos(x) • sinx + p • sinx = 0
sinx(-4cosx + p) = 0
sinx = 0  ∨  -4cosx + p = 0
x = 0  ∨  cosx = 1/4p
       
  c. cosx = 1/4p geeft:  p = 4cosx
Vul dat in:  f(x) = -2cos2x + 4cosx • cosx - 1
f(x) = 2cos2x - 1 = cos (2x)  (zie de formulekaart)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)