© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. sinα = h/20  ⇒  h = 20sinα
cosα = x/20  ⇒  x = 20cosα

oppervlakte is  2 • (0,5xh) + 40h = xh + 40h
O =  20cosα • 20sinα  + 40 • 20sinα
O = 400sinαcosα + 800sinα
       
  b. O' = 0
400cosαcosα + 400sinα•-sinα + 800cosα = 0
400cos2α - 400sin2α + 800cosα = 0
400cos2α - 400(1 - cos2α) + 800cosα = 0
800cos2α + 800cosα - 400 = 0
2cos2α + 2cosα - 1 = 0
ABC-formule:  cosα = (-2 ±√(4 + 8))/4 = 0,366 of -1,366  (maar die laatste kan niet)
cosα =  0,366
α = 68,5Ί
Dan is   O = 400sin(68,5)cos(68,5) + 800sin(68,6) = 880,7
       
2. a. sinα = h/5h = 5sinα
cosα = x/5  x = 5cosα

O =
4 • (0,5xh) + 2 • (8h) = 2xh + 16h
O = 2 • 5cosα • 5sinα + 16 • 5sinα
O = 50sinαcosα + 80sinα
     
  b. Y1 = 50*sin(X)*cos(X) + 80*sin(X) en dan calc - maximum
Dat geeft een maximale oppervlakte van 91,67  (voor α = 65,6Ί)
       
  c. O ' = 0
50cosαcosα + 50sinα•-sinα + 80cosα = 0
50cos2α - 50sin2α + 80cosα = 0
50cos2α - 50(1 - cos2α) + 80cosα = 0
100cos2α + 80cosα - 50 = 0
10cos2α + 8cosα - 5 = 0
ABC-formule:  cosα = (-8 ±√(64 + 200))/20 = 0,4124 of -1,212  (maar die laatste kan niet)
cosα =  0,412
α = 65,6Ί
Dan is   O = 50sin(65,6)cos(65,6) + 80sin(65,6) = 91,7
       
3. a. cosα = TQ/75 ⇒  TQ = 75cosα
sinα = PQ/75  PQ = 75sinα

PQ2 + QM2 = 802
(75sinα)2 + QM2 = 6400
QM2 = 6400 - 752sin2α
QM = √(6400 - 5625sin2α)

TM = TQ + QM = 75cos
α + (6400 - 5625sin2α)
       
  b. De afname van TM is gelijk aan de helling.
Het gaat er dus om wanneer de helling maximaal (negatief) is.
PLOT in de GR:
Y1 = 75cos(X) + (6400 - 5625(sin(X))^2)
Y2 = nDerive (Y1, X, X)
gebruik dan calc - minimum van Y2
Dat geeft X =
α = 66,2Ί
 
       
4. a. tanα = z/x ⇒  z = xtanα
x + y + z = L  ⇒   y = L - x - z  ⇒   y = L - x - xtanα

O = xy +
1/2zx
O
= x(L - x - xtanα) + 1/2 • xtanα • x
O = xL - x2 - x2tanα + 1/2x2tanα
O = xL - x2 - 1/2x2tanα
       
  b. O ' = 0
L - 2x - xtanα = 0
L = 2x + xtanα
L = x(2 + tanα)
x = L/(2 + tanα)
       
5.
       
  cosα = 2/AC  ⇒  AC = 2/cosα
sinα = 1,5/BC ⇒ BC = 1.5/sinα

L = AC + BC = 2/cosα + 1,5/sinα
De langste plaat vind je door uit te rekenen in welke situatie (bij welke hoek ) L minimaal is.
Dan is L' = 0
L = 2(cosα)-1 + 1,5(sinα)-1
L' = -2(cosα)-2 • -sinα +  -1,5(sinα)-2 • cosα
 
  2sin3α = 1,5cos3α
tan3α = 1.5/2 = 0,75
tanα = 0,751/3 = 0,9086
α = 42,3Ί
Dan is L = 2/cos42,3Ί + 1,5/sin42,3Ί = 4,933 meter en dat is ongeveer 493 cm
       
6. a. Oppervlakte rechthoek is  x(x + y)
= cosx(cosx + sinx)
= cos2x + cosxsinx
= cos2x + 1/2 • 2sinxcosx
= cos2x + 1/2sin2x
 
       
  b. O ' = 0
2cosx • -sinx + 1/2 • cos2x • 2 = 0
-2cosxsinx + cos2x = 0
cos2x = 2cosxsinx
cos2x = sin2x
cos2x = cos(1/2π - 2x)
2x = 1/2π - 2x
4x = 1/2π + k2π   
x
= 1/8π
O = cos21/8π + 1/2sin(1/4π) = 1,207
 
       
7. a. sinα = h/1,5 ⇒  h = 1,5sinα
cosα = x/1,5 ⇒  x = 1,5cosα

O = 0,5 • xh + 2h
O
= 0,5 • 1,5cosα • 1,5sinα + 2 • 1,5sinα
O
= 1,125cosαsinα + 3sinα
       
  b. O ' = 0
1,125•-sinα•sinα + 1,125•cosα•cosα + 3cosα = 0
-1,125sin2α + 1,125cos2α + 3cosα = 0
-1,125(1 - cos2α) + 1,125cos2α + 3cosα = 0
-1,125 + 1,125cos2α+ 1,125cos2α + 3cosα = 0
2,5cos2α + 3cosα - 1,125 = 0
ABC-formule:  cosα = (-3 ±√(9 + 11,25))/5 = 0,3  of  -1,5
cosα = 0,3
α = 1,266  (α = 5,017)
O =  1,125cos1,266•sin1,266 + 3sin1,266 = 3,18 m2
 
       
  c. maak precies dezelfde berekeningen, maar met de 1,5 en de 2 verwisseld;
sinα = h/2 ⇒  h = 2sinα
cosα = x/2 ⇒  x = 2cosα
O = 0,5 • xh + 1,5h
O
= 0,5 • 2cosα • 2sinα + 1,5 • 2sinα
O
= 2cosαsinα + 3sinα
O ' = 0
2•-sinα•sinα + 2•cosα•cosα + 3cosα = 0
-2sin2α + 2cos2α + 3cosα = 0
-2(1 - cos2α) + 2cos2α + 3cosα = 0
-2 + 2cos2α + 2cos2α + 3cosα = 0
5cos2α + 3cosα - 2 = 0
ABC-formule:  cosα = (-3 ±√(9 + 40))/10 = -1  of  0,4
cosα = 0,4
α = 1,159  (α = 5,124)
O =  2cos1,159•sin1,159 + 3sin1,159 = 3,48 m2

Dat is 0,30 m2 mιιr en dat is  0,30/3,18 • 100% = 9,4% meer
       
  d. Zie de volgende figuur:
   

       
    De figuur bestaat uit een driehoek met zijden 2, 1.5 en 2,5 (Pythagoras) plus een driehoek met zijden 2.5, x en y.
Noem de hoek, uit de figuur b.
sinβ = y/2,5  ⇒  y = 2,5sinβ
cosβ = x/2,5  ⇒  x = 2,5cosβ
Oppervlakte tweede driehoek is 1/2 • xy  = 1/2 • 2,5cosβ • 2,5sinβ = 3,125sinβcosβ
Dat is  1,5625 • 2sinβcosβ = 1,5625 sin(2β)
Dat is maximaal als 2β = 1/2π  dus β = 1/4π
Dat geeft maximale totale oppervlakte  1/2 • 2 • 1,5 + 1,5625 = 3,0625 
tan-1(2/1.5) = 53,13Ί dus in de eerste figuur uit de opgave is α = 53,13 + 45 = 98,13Ί
tan-1(1,5/2) = 36,87Ί dus in de tweede figuur uit de opgave is α = 36,87 + 45 = 81,87Ί
       
8. a. sinα = x/3  ⇒   x = 3sinα
cosα = h/3   h = 3cosα

V = 2 • 1/2 • hx + 2 • 2h
V = hx + 4h
V = 3cosα • 3sinα + 4•3cosα
V = 9cosαsinα + 12cosα

       
  b. Met de productregel:
V' = 9 • -sinα•sinα + 9cosα • cosα + 12•-sinα
= -9sin2α + 9cos2α - 12sinα
= -9sin2α + 9(1 - sin2α) - 12sinα
= -9sin2α + 9 - 9sin2α - 12sinα
= 9 - 18sin2α - 12sinα  
       
  c. V ' = 0
-18p2 - 12p + 9 = 0
ABC-formule:  p = (12 ±√(144 + 648))/-36 =  -1,12  of  0,448
cosα = 0,448  (want  cosα = -1,12 kan niet)
α = cos-1(0,448) = 63,36Ί
V = 9cos(63,36)sin(63,36) + 12cos(63,36) = 8,99
       
9. a. Met R en H helemaal omlaag is RA = 120 dus QA = 120 - 40 = 80
Dan is de hoogte van A gelijk aan 200 + 80 = 280

Met R en H helemaal omhoog is QA = 120 + 40 = 160
Dan is de hoogte van A gelijk aan 200 + 160 = 360

     
  b. cosα = QF/40 ⇒  QF = 40cosα = 40cos(1/6π) = 20√3

sinα = RF/40  RF = 40sinα = 40sin(1/6π) = 20
De driehoeken AER en HFR zijn gelijkvormig
RF/RH = RE/RA   20/60 = RE/120  ⇒  RE = 40

Pythagoras:  402 + AE2 = 1202
AE2 = 12800
AE = √12800
x = PQ - QF + AE = 200 - 20√3 + √12800 = 278,49
       
  c. Herhaal de vorige berekening met α in plaats van 1/6p:
cosα = QF/40 ⇒  QF = 40cosα
sinα = RF/40  RF = 40sinα

De driehoeken AER en HFR zijn gelijkvormig
RF/RH = RE/RA  40sinα/60 = RE/120  RE = 80sinα
Pythagoras:  (80sinα)2 + AE2 = 1202
AE2 = 14400 - 6400sin2α 
  AE = (14400 - 6400sin2α) = (1600(9 - 4sin2α)) = 40(9 - 4sin2α)
x = PQ - QF + AE  = 200 - 40cosα + 40(9 - 4sin2α)

       
  d. x = 200 - 40cosα + 40(9 - 4sin2α)0,5
x ' = -40 • -sinα + 40 • 0,5 • (9 - 4sin2α)-0,5 • -2•4•sinα • cosα
x ' = 40sinα - 160sinαcosα(9 - 4sin2α)-0,5
x'  = 40sinα • (1 - 4cosα • (9 - 4sin2α)-0,5)
x ' = 40sinα • (1 - 4cosα/√(9 - 4sin2α))
       
  e. Vul α = 1/6π in de formule voor x' in:  sinα = 1/2  en cosα = 1/2√3
x ' = 40 • 0,5 • (1 - 4 • 0,5√3/√(9 - 1)) = -4,49
Dat is negatief dus x wordt kleiner: het uiteinde A gaat omlaag. 
       
10. a. cosx = MQ/1 ⇒  MQ = cosx
sinx = SQ/1  SQ = sinx

SQ2 + QP2 = 42
QP2 = 16 - SQ2
QP2 = 16 - sin2x
QP = √(16 - sin2x)

MP = MQ + QP = cosx + √(16 - sin2x)
       
  b. het minimum wordt bereikt als S helemaal links ligt. Dan is  MP = PS - MS = 4 - 1 = 3
het maximum wordt bereikt als S helemaal rechts ligt. Dan is  MP = PS + MS = 4 + 1 = 5
       
  c. Als PM = PS is driehoek PMS gelijkbenig.
cosx = 0,5/4  ⇒ x = 82,8Ί
en natuurlijk ook met S onder M:  x = 277,2Ί
       
  d. Y1 = cos(X) + √(16 - (sin(X))^2) - (4 + cos(X))
calc - minimum  geeft een verschil van 0,13 voor x = 90Ί
       
11. a. sinx = GB/AB = 2/3  x = sin-1(2/3) = 0,73 rad.

     
  b. sinx = GB/3 ⇒  GB = 3sinx
cosx = GA/3 ⇒ GA = 3cosx

een driehoekje heeft oppervlakte  0,5 • GB • GA
= 0,5 • 3sinx 3cosx = 4,5sinxcosx
Daar zijn er 4 van.

Een rechthoek heeft oppervlakte GB • BC = 3sinx • 3 = 9sinx
Daar zijn er 2 van.

Totale oppervlakte:  18sinxcosx + 18sinx
       
  c. Met de productregel;
S' = 18cosx • cosx + 18 • sinx • -sinx + 18 • cosx
S' =  18cos2x - 18sin2x + 18cosx
S' = 18cos2x - 18(1 - cos2x) + 18cosx
S' = 18cos2x - 18 + 18cos2x + 18cosx
S' = 36cos2x + 18cosx - 18
       
  d. S' = 0
36cos2x + 18cosx - 18  = 0
2cos2x + cosx - 1 = 0
ABC-formule:   cosx = (-1 ±√(1 + 8))/4 = (-1 ± 3)/4 = 1/2  of  -1
cosx = -1 geeft oppervlakte nul.
cosx = 1/2 ⇒  x = 1/3p  (60Ί)  en dat geeft maximale oppervlakte.
       
12. a. O = (0,0) en T = (2, 1)
De helling is  1/2  dus de vergelijking van OT is   y = 1/2x

T = (2, 1) en S = (4, 0)
De helling is - 1/2 dus de vergelijking is  y = - 1/2x + b
0 = - 1/2 • 4 + b  b = 2  dus de vergelijking van ST is  y = - 1/2x + 2   
       
  b. lengte van AB = L =  yB - yA
op traject OT:   L = sin1/4px -  1/2x 
Voor maximale L stel je de afgeleide nul:  L ' = 1/4π • cos1/4πx - 1/2 = 0
cos1/4πx = 2/π
1/4πx = cos-1( 2/π) = 0,88
x = 1,12
Dan is L = sin1/4πx -  1/2x   ≈  0,21
vanwege de symmetrie van de figuur vind je op traject ST hetzelfde.
       
13. a. Bij een vierkant is de figuur symmetrisch in lijn AQ, dus is ∠RAC = ∠BAP
Samen met ∠BAC vormen deze drie een rechte hoek.
Daarom is  ∠RAC = ∠BAP = 1/6π
       
  b. Teken de lijn van C loodrecht op AP. Dat geeft punt R. Dan geldt  sin(1/6π + x) = CR = QP
Verder in driehoek ABP:  AP = cosx
AP • QP = cosx • sin(1/6π + x)
omdat sinα = cos(1/2π - α) geldt sin(1/6π + x) = cos(1/2π -  (1/6π + x) ) = cos (1/3π - x)
Daarmee is de formule bewezen.
       
  c. O'(x) = -sinx • cos (1/3π - x) + cosx • -sin(1/3π - x) • -1
= cosx • sin(1/3π - x) - sinx • cos (1/3π - x)
= sin(1/3π - x - x) = sin(1/3π - 2x)

O'(x) = 0  ⇒  sin(1/3π - 2x) = 0 
⇒  1/3π - 2x = 0 (mod 2π)  ∨  1/3π - 2x = π  (mod 2π)
⇒  2x = 1/3π  (mod 2π)  ∨  2x = -2/3π  (mod 2π)
⇒  x1/6π  (mod π)  ∨  x = 2/3π (mod π)
x 1/6π  geeft  O = 3/4
x =
2/3π valt af omdat 0 x 1/3π
x = 0 geeft  O = 1/2  en  x = 1/3π  geeft  O = 1/2
Conclusie:  O zit in het interval [1/2 , 3/4]
       
14. a. De twee zijstukken hebben elk oppervlakte  cosα • 2sinα = sin2α dus samen 2sin2α
het middenstuk heeft oppervlakte 2 • 2sinα = 4sinα
Samen geeft dat de gezochte formule.
       
  b. met de kettingregel: 
dO
/dα = 2cos2α • 2 + 4cosα
= 4cos2α + 4cosα
= 4(cos2α + cosα)

gebruik de formule voor cosa + cosb van de formulekaart met a = 2α en b = α
dat geeft  4 • (2cos1/2(2α + α) cos1/2(2α - α)) = 8cos11/2αcos1/2α
       
  c. dO/dα = 0 
⇒  cos11/2α = 0  ∨  cos1/2α = 0
⇒  11/2α = 1/2π  ∨  11/2α = 11/2π  ∨  1/2α = 1/2π  ∨  1/2α = 11/2π
⇒  α = 1/3π  ∨  α = π  ∨  α = π  ∨  α = 3π
Omdat 0 < α < 1/2π zal de oplossing moeten zijn α = 1/3π.
Een tekenbeeld van dO/dα is       (0)++++(1/3π)-----(1/2π)     dus O heeft inderdaad een maximum
O(1/3π) = 2 • sin (2/3π) + 4sin(1/3π) = 2 • 1/2√3 + 4 • 1/2√3 = 3√3
       
15. a. Bij hoek t hoort een cirkelsector die t/2π ste deel van de hele cirkel is,
dus heeft zo'n cirkelsector oppervlakte  t/2π • πr2 = t/2π • π • 42 = 8t

Een driehoek heeft rechthoekszijden  4sint en 4cost  (sos cas toa) dus oppervlakte 0,5 • 4sint • 4cost

zes driehoeken en twee cirkelsectoren:
6 • 0,5 •  4sint • 4cost  + 2 • 8t  = 48sintcost + 16t = 24 • 2sintcost + 16t = 24sin2t + 16t
       
  b. Als de hoogte 4 is, dan is de halve hoogte 2,  dus is sint = 2/4
Dat geeft t = 1/6π
invullen in de oppervlakteformule:  O = 22/3p + 12√3
       
  c. O is maximaal als O' = 0
O' = 16 + 24cos(2t) • 2 = 0
⇒  48cos(2t) = -16
⇒  cos(2t) = -1/3
Omdat de exacte waarde wordt gevraagd mogen we niet gaan afronden!!!!

De hoogte is gelijk aan  8sint
De vraag is dus:  hoe groot is 8sint als je weet dat cos2t = -1/3???
formulekaart:  cos2t = 1 - 2sin2t
-1/3 = 1 - 2sin2t
⇒  2sin2t = 11/3
⇒  sin2 t = 2/3
⇒  sint = √(2/3)

De hoogte is dus  8√(2/3)

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)