h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1 f(1/3p) = 4tan1/3π = 4√3

f '(x) = 4(tan2x +1)  dus  f '(1/3π) = 4((√3)2 + 1) = 16
De raaklijn is dan y = 16x + b  en moet door  (1/3π, √3) gaan.
4√3 = 16 1/3π + b  geeft  b = 4√3 - 16/3π
De raaklijn is  y = 16x + 4√3 - 16/3π
       
2. Het raakpunt is
De helling in het raakpunt moet dan 2 zijn. dus de afgeleide van  tan(ax) ook
tan2(x) + 1 = 4
tan2x  = 3
tanx = √3  ∨  tanx = -√3
x = 1/3π + kπ   x =  2/3π + kπ

x = 1/3π  geeft  y = 4 1/3π + π = 31/3π  en het raakpunt (1/3π, 31/3π)
a + tan(1/3π) = 31/3π  ⇒  a + √3 = 31/3π  ⇒  a = 31/3π - √3

x = 2/3π  geeft  y = 4 2/3π + π = 32/3π  en het raakpunt ( 2/3π, 32/3π)
a + tan(2/3π) = 32/3π ⇒  a - √3 = 32/3π  ⇒  a = 32/3π + √3
       
3. Als de hellingen gelijk zijn, dan moet gelden   8cosx = 1/cos2x
8cos3x = 1
cos3x = 1/8
cosx = 1/2
x =
1/3π  ∨   x = 12/3π

De grafieken zelf moeten dan ook gelijk zijn;
tan (1/3π) = 8sin(1/3π) + p   ⇒  √3 = 8 1/2√3 +   p = -3√3
tan (12/3π) = 8sin(12/3π) + p  ⇒  √3 = 8 -1/2√3 + p   p = 5√3 
       
4. Ze raken elkaar als ze dezelfde helling hebben , dus als de afgeleides gelijk zijn:
tan2x + 1 = 2acos2x  voor x = 0
tan20 + 1 = 2acos(2 0)
1 = 2a
a
= 1/2
       
5. Als de grafieken elkaar raken moeten de functiewaarden gelijk zijn en de afgeleides ook.

tan(ax + b) = 2sinx  geeft  tan(a 1/6π + b) = 2sin(1/6π) = 1

tan2(ax + b) a = 2cosx  geeft  tan2(a 1/6π + b) = 2 cos(1/6π) = √3

Als beiden tegelijk moet gelden, dan moet a = √3

Dan geeft de eerste vergelijking  tan(√3 1/6π + b) = 1
√3 1/6π + b  = 1/4π + kπ
b = 1/4π - √3 1/6π + kπ  3,02  + kπ
       
6. f '(x) =  1/2(tan2x + 1)  dus  f ' (1/4π) = 1
g'
(x) = -psinx  dus  g'(1/4π) = -1/2p√2
f ' g' = -1  geeft dan  1/2p√2 = 1  dus  p = √2

f
(1/4π) =  1/2
g(
1/4π) = 2 1/22 + q  = 1 + q
Dat si gelijk als  q = -1/2
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)