h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 2cos2x
= 1 + 2cos2x - 1
= 1 + cos(2x)
= 1 + sin(2x + 1/2π)         ........want cosα = sin(α + 1/2π)
= 1 + sin(2(x + 1/4π))

dus door de grafiek van g over afstand 1/4π naar links te schuiven krijg je de grafiek van f  
dus door de grafiek van f over afstand 1/4π naar rechts te schuiven krijg je de grafiek van g  
       
  b.  Zie de gegeven grafiek.
Als je f  zodanig verschuift dat de maxima van f precies bij de minima van g liggen, dan heffen die grafieken elkaar op en zal er een constante uitkomen.
De periode van de grafieken is π.
in vraag a) zagen we al dat f en g samenvallen als je f 1/4π naar rechts schuift
Schuif daarom f 1/4π naar links.

f
(x + 1/4π) + g(x)
= 2cos2(x + 1/4π) + 1 + sin2x
=
1 + cos(2(x + 1/4π)) +  1 + sin2x
=
2  +  cos(2x + 1/2π) + sin2x
= 2 +  -sin(2x) + sin(2x)
= 2
       
2. a. 2(cosx + 1)(cosx - 1/2)
= 2(cos2x - 1/2cosx + cosx - 1/2)
= 2cos2x - cosx + 2cosx - 1
= 2cos2x - 1  + cosx
= cos(2x) + cosx
 
       
  b. g(x) = cosx + cos2x
g'
(x) = -sinx - 2sin2x = 0
sinx + 2sin2x = 0
sinx + 4sinxcosx = 0
sinx(1 + 4cosx) = 0
sinx = 0  ∨   1 + 4cosx = 0
sinx = 0  ∨   cosx = -1/4
x = 0  ∨  x = π  ∨   x = 2π     x = cos-1(-1/4) = 1,82  ∨   x = 2π - 1,82 = 4,46
De minima bevinden zich bij x = 1,82 en x = 4,46
       
3. a. f(x) heeft een minimum als 2sinx maximaal is.
Dat is maximaal 2, dus  f(x) heeft minimum 1/2

f(x) heeft een maximum als 2sinx minimaal is.
Dat is minimaal -2, dus  f(x) heeft maximum -1/2

Het bereik is dan  (aflezen uit de figuur):   〈←, -1/2] samen met [1/2, →〉
       
  b. acosx = 1/(2sinx)
2 a sinx cosx = 1
2sinxcosx = 1/a
sin(2x) = 1/a 
omdat een sinus altijd tussen -1 en 1 zit, heeft dit geen oplossing
als  1/a < -1  of  1/a > 1
Dat is als -1 < a < 1
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)