© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. sin(1/2π - α + -β) = sin(1/2π - α)cos(-β) + cos(1/2π - α)sin(-β)

Maar  sin(1/2π - x) = cosx en  cos(1/2π - x) = sinx  en sin(-x) = -sinx en cos(-x) = cosx

Dat geeft :
sin(1/2π - (α + β)) = cosαcosβ + sinα • -sinb
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ

       
  b. cos(α + -β) = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)
cos(α - β) = cosα • cos(β) - sinα • -sin(β)
cos(α - β) = cosα • cos(β) + sinα • sin(β)
       
2. sin2(α + 1/4π)
= sin(α + 1/4π) • sin(α + 1/4π)
= (sinαcos1/4π + cosαsin1/4π) • (sinαcos1/4π + cosαsin1/4π)
= sin2α•cos21/4π  + 2sinα•cos1/4π•cosα•sin1/4π + cos2α•sin21/4π
= sin2α • (1/2√2)2 + 2sinαcosα • 1/2√2 • 1/2√2 + cos2α • (1/2√2)2
= 1/2sin2α + sinαcosα + 1/2cos2α
= 1/2(sin2α + cos2α) + sinαcosα
= 1/2 + sinαcosα
       
3. cos(α + 1/6π) + cos(α - 1/6π)
= cosαcos1/6π - sinαsin1/6π + cosαcos1/6π + sinαsin1/6π
= 2cosαcos
1/6π
= 2cosα • 1/2
3
=
√3 • cosα
       
4. cos2(1/4π - 1/2x)
= cos(1/4π - 1/2x) • cos(1/4π - 1/2x)
= (cos1/4πcos1/2x + sin1/4πsin1/2x) •  (cos1/4πcos1/2x + sin1/4πsin1/2x)
= cos21/4π • cos21/2x + 2cos1/4π •  cos1/2x •  sin1/4π •  sin1/2x + sin21/4π •  sin21/2x
= (1/2√2)2 • cos21/2x + 2 • 1/2√2 • cos1/2x • 1/2√2 • sin1/2x + (1/2√2)2 • sin21/2x
= 1/2cos21/2x + cos1/2x •  sin1/2x + 1/2sin21/2x
= 1/2(cos21/2x + sin21/2x) + cos1/2x •  sin1/2x
= 1/2 + 1/2 • sin(2 • 1/2x)
= 1/2 + 1/2sinx
       
5. sin(5/12π)
= sin(3/12π + 2/12π)
= sin(3/12π)cos(2/12π) + cos(3/12π)sin(2/12π)
= 1/2√2 • 1/2√3 + 1/2√2 • 1/2
= 1/4√6 + 1/4√2
       
6. a. cos(1/12π)
= cos(1/4π - 1/6π)
= cos(1/4π)cos(1/6π) + sin(1/4π)sin(1/6π)
= 1/2√2 • 1/2√3 + 1/2√2 • 1/2
= 1/4√6 + 1/4√2
 
       
  b. cos(1/12π) = sin(5/12π)
Dat is logisch, want  cos(5/12π) = sin(1/2π - 5/12π)
 
       
7. cos2x + cos2(x - 1/3π)
=
cos2x +  (cosx • cos1/3π + sinx • sin1/3π)2
=
cos2x +  cos2cos2(1/3π) + 2cosx • cos(1/3π) • sinx • sin(1/3π) + sin2x • sin2(1/3π)
=
cos2x + cos2x • 1/4  + 2cosx • 1/2 • sinx • 1/2√3 + sin2x • 3/4
= 5/4cos2x + 1/2√3 • cosx • sinx + 3/4sin2x
=
3/41/2cos2x + 1/2√3 • cosx • sinx
= 3/4 + 1/2cosx • (cosx + √3 • sinx)

3/4 + cosx • cos(x - 1/3π)
= 3/4 + cosx (cosx • cos1/3π + sinx • sin1/3π)
= 3/4 + cosx (1/2cosx + 1/2√3 • sinx)
= 3/4 + 1/2cosx • (cosx + √3 • sinx)

Dat is inderdaad gelijk.
       
8. Zie de figuur hiernaast.  AD = 5  (Pythagoras)

cos(α + β) = 3/AC    (in driehoek ABC)   ......(1)

cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cosα = 3/5  en  sinα = 4/5      (in driehoek ABD)
cosβ = AE/5  en sinβ = 1/5  (in driehoek ADE)

invullen geeft dan cos(α + β) = 3/5 • AE/5 - 4/5 • 1/5

Dus moet gelden (met (1)):   3/AC = 3AE/25 - 4/25
AE = √(52 - 12) = √24
3/AC = 3√24/25 - 4/25
75/AC = 3√24 - 4
AC = 75/(3√24 - 4)

  EC = AC - AE = 75/(3√24 - 4) - √24
       
9. Bereken de afgeleide van   1/2sinx - 1/6sin3x
Die is   1/2cosx1/2cos3x
= 1/2cosx - 1/2cos(x + 2x)
= 1/2cosx - 1/2(cosxcos2x - sinxsin2x)
= 1/2cosx - 1/2cosx(1 - 2sin2x) + 1/2sinx•2sinxcosx
=
1/2cosx - 1/2cosx + cosxsin2x + sin2xcosx
=
2sin2x cosx
= 2sinx • cosx • sinx
= sin2x • sinx
Dat is precies de gezochte formule, dus was onze oorspronkelijke formule een primitieve van deze.
       
10. cos(α - β) - cos(α + β) = (cosαcosβ + sinαsinβ) - (cosαcosβ - sinαsinβ) = 2sinαsinβ
dus sinαsinβ = 1/2(cos(α - β) - cos(α + β))

cos(α - β) + cos(α + β) = (cosαcosβ + sinαsinβ) + (cosαcosβ - sinαsinβ) = 2cosαcosβ
duns  cosαcosβ = 1/2(cos(α - β) + cos(α + β))
       
11. a. sin2x • cos3x = 0
sin2x = 0  cos3x = 0
2x = 0 + k2π ∨  2x = π + k2π  ∨  3x = 1/2π + k2π  ∨ 3x = 11/2π + k2π
x =
0 + kπ   x = 1/2π + kπ     x = 1/6π +2/3π   x = 1/2π + 2/3π
In [0, 2π] geeft dat de oplossingen:   {0, 1/6π, 1/2π, 5/6π, p, 7/6π, 11/2π, 11/6π, 2π}
       
  b. Als hij symmetrisch is in (π, 0) dan moet gelden  f(π - a) + f(π + a) = 0

f
(π - a) + f(π + a)
= sin2(π - a)cos3(π - a) + sin2(π + a)cos3(π + a)
= sin(2π - 2a)cos(3π - 3a) + sin(2π + 2a)cos(3π + 3a)
= (sin2πcos2a - cos2πsin2a) • (cos3πcos3a + sin3πsin3a)
         + (sin2πcos2a + cos2πsin2a) • (cos3πcos3a - sin3πsin3a)
= -sin2a • -cos3a  + sin2a • -cos3a
=
0
       
  c. sin2x • cos3x = 1/2(sin5x + sin(-x)) = 1/2(sin5x - sinx)
Een primitieve is daarom   1/2(-1/5cos5x + cosx)
omdat de grafiek tussen x = 1/6π en x = 1/2π onder de x-as ligt moet er een minteken voor de integraal:
   
    = -1/2{(-1/5cos21/2π + cos1/2π) - (-1/5cos5/6π + cos1/6π)}
= -1/2{(0 + 0) - (1/10√3 + 1/2√3)}
= -1/2 • (- 3/5√3)
3/10√3
       
12. a. 2sin(x - 1/3π) = sinx - 1
2(sinxcos1/3π - cosxsin1/3π) = sinx - 1
sinx - √3cosx = sinx - 1
√3cosx = 1
cosx = 1/√3
x = cos-1(1/√3) = 0,96 ∨  x = 2π - 0,86 = 5,33
       
  b. f ' = g2'
2cos(x - 1/3π) = 2cosx
cos(x - 1/3π) = cosx
x
- 1/3π = x  + k2π    x - 1/3π = 2π - x + k2π
De tweede mogelijkheid geeft  2x = 21/3π  ⇒   x = 11/6π + kπ
Dat geeft de oplossingen  {1/6π,  11/6π

Voor raken moet bovendien gelden  f = g2
x = 1/6π  geeft   2sin(1/6π - 1/3π) = 2sin(1/6π) - 2  ⇒  sin(-1/6π) = sin(1/6π) - 1  en dat klopt!
x = 11/6π  geeft   2sin(11/6π - 1/3π) = 2sin(11/6π) - 2  ⇒  sin(5/6π) = sin(11/6π) - 1  en dat klopt niet.

Het raakpunt is het punt (1/6π, -1)

       

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