© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Het geeft de volgende grafiek op enkellogpapier:
       
 

       
  Dat ligt aardig op een rechte lijn, dus dat zal WEL een exponentieel verband zijn.
       
2. Zie de volgende twee grafieken.

De rode (dat was de eerste tabel) is een aardig goede rechte lijn en zal dus een exponentieel verband weergegeven.

Neem twee punten van de rode lijn, 
bijv.  (2.8, 650) en (9.8, 397000)

de factor is  397000/650 = 610,77  maar dat is in 7 stapjes
(9.8 - 7.8)
Voor de groeifactor geldt  g7 = 610,77 
g = 610,771/7 = 2,5

punt invullen:
397000 = B • 1,59,8 
397000 = B • 7939
B = 50

De formule is  y = 50 • 2,5x

 
 

 
3. y = 3 • 2,5x
logy = log(3 • 2,5)x  =  log3 + log(2,5x) = log3  + x • log2,5
De richtingscoλfficiλnt is dan log2,5 = 0,3979
Dan geldt  tanα = 0,3979 ⇒ α = 22Ί  
       
4. a. De factoren zijn achtereenvolgens;
10803/10000 = 1,08  en  11666/10803 = 1,08  en 12597/11666 = 1,08  en  13605/12597 = 1,08 en 14694/13607 = 1,08
Dat is allemaal gelijk dus het is exponentieel en g = 1,08
Met t = 0 in 1950 is B = 10000 dus de formule is  A(t) = 10000 • 1,08t
       
  b. Zie de grafiek hiernaast. Dat is een rechte lijn dus het is een exponentiλle toename.

Neem bijv. de punten (0, 8.50) en (10, 17.10)
De factor daartussen is 17.10/8.50 = 2,012
Maar dat is g10  dus  g = 2,0121/10 = 1,07

De beginwaarde is die in 1950 en is B = 8,50

Dat geeft  C(t) = 8,50 • 1,07t
     
  c. I = A • C
I = 10000 • 1,08t • 8,50 • 1,07t
I = 10000 • 8,50 • (1,08 • 1,07)t
I = 85000 • 1,1556t
De groeifactor is ongeveer 1,56
     
  d. I = A • C
logI = log(A • C) = logA + logC
De grafiek ontstaat dus door de beide andere grafieken bij elkaar op te tellen.
     
5. a. De groeifactor is 1,005 en de beginwaarde 8000 dus dat geeft  A(t) = 8000 • 1,005t
10000 = 8000 • 1,005t
1,25 = 1,005t
t = log1,25/log1,005 = 44,74..  maanden dus voor het eerst op t = 45 is het meer dan 10000

     
  b. Zie hiernaast. (de groene lijnen horen bij vraag d)
De A grafiek gaat dus door  (0, 8000) en (45, 10000)
en ook bijv  (90, 24400)

De B-grafiek gaat door bijv.  (0, 8000) en (100, 21600)

De bedragen zijn gelijk na ongeveer 65 maanden
     
  c. De A-grafiek  heeft  A = 10000 • 1,02t - 45  (want op t = 45 staat er 100000 op de rekening en vanaf dan groei het met 2%)
De B-grafiek  heeft  B = 8000 • 1,01t 

10000 • 1,02t - 45 = 8000 • 1,01t
10000 • 1,02t • 1,02-45 = 8000 • 1,01t
1,02t • 4101,97 = 8000 • 1,01t
(1,02/1,01)t = 8000/4101,97
1,0099t = 1,9503
t = log(1,9503)/log(1,0099) = 68 jaar 

 
       
  d. terugrekenen:
als je na 40 maanden 15000 euro hebt, wanneer heb je dan 10000 euro?
15000 = 10000 • 1,02t
1,02t = 1,5
t = log(1,5)/log(1,02) = 20,47 maanden
Dus in maand  40 - 21 = 19 moet je 10000 hebben.

10000 = B • 1,00519
10000 = B • 1,0994
B = 9096 euro

Zie de groene grafieken hierboven . De twee getekende delen zijn evenwijdig aan de twee blauwe lijnen van de A-grafiek.
       
6. a. De lijn gaat door (0, 4) en  (16, 300)
Dat is een factor  300/4 = 75 in 16 weken
g16 = 75 ⇒  g = 751/16 = 1,31
De formule is dan  G = 4 • 1,31t 
       
  b. I door  bijv. (0, 20) en (12, 217) de blauwe lijn
II door bijv   (0, 60) en (12, 234) de groene lijn

     
  c. het verschil bij 120 gram is het paarse lijnstuk
dat is ongeveer  3 weken.

20 • 1,22t = 120 
⇒ 1,22t = 6 ⇒  t = log6/log1,22 = 9,01

60 • 1,12t = 120
⇒  1,12t = 2  ⇒  t = log2/log1,12 = 6,12

Het verschil is 9,01 - 6,12 = 2,89 weken
       
  d. Verplaats de blauwe lijn evenwijdig naar het punt waar de groene lijn 120 gram geeft  (6.12, 120)
Lees de beginwaarde bij t = 0 af.
Die is ongeveer 35.

120 = B • 1,226,12
120 = B • 3,38
B = 120/3,38 = 35,5

       
7.

       
  De punten liggen redelijk op een rechte lijn, dus is er een exponentieel verband.
Lees 2 punten af, bijv.  (10, 5) en (19, 240)
De factor is  240/5 = 48 en dat is in 9 weken.
g9 = 48 ⇒  g = 481/9 = 1,54
5 = B • 1,5410 ⇒  5 = B • 75  ⇒  B = 0,067
De formule is dan  G = 0,067 • 1,54t
       
8. a. Lees twee punten af, bijv.   (0, 1000) en  (6, 100000)
De factor daartussen is  100000/1000 = 100
Dat is in 6 dagen:  g6 = 100 ⇒  g = 1001/6 = 2,15
De formule is dan B = 1000 • 2,15d
       
  b. Als d nul is, moet B 1000 zijn.
d = 0 geeft  logB = 3  en dat is inderdaad bij B = 1000
       
  c. log5000000 = 1/3 • 1,32T • 4 + 3
6,699 = 4/3 • 1,32T + 3
3,699 = 4/3 • 1,32T
2,774 = 1,32T
T = log(2,774)/log(1,32) = 3,7 ΊC
       
  d. log B = 1/3 • 1,322 • d + 3
logB = 0,5808 • d + 3
B = 100,5808d + 3
B =  (100,5808)d • 103
B = 3,81d • 1000
De groeifactor is 3,81.
       
9.

       
  a. Zie de rode grafiek. De punten liggen goed op een rechte lijn dus er is een exponentieel verband.
       
  b. Trek de grafiek door tot 1 miljard. Dat zal ongeveer in 2039 zijn.
       
  c. De blauwe lijn gaat door bijv.  (2010, 6) en (2025, 6•0,9215 = 1,71)
De velden zijn even vol op het snijpunt:  ongeveer in 2023
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)