h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Zie de figuur hiernaast.

2log(x + 4) = 5 - 2logx
2log(x + 4) + 2logx = 5
2log(x(x + 4)) = 5
x(x + 4) = 25 = 32
x2 + 4x - 32 = 0
(x - 4)(x + 8) = 0
x =
4     x = -8
Alleen x = 4 voldoet.

f
(x) g(x) geldt dan voor  〈0, 4] (zie de figuur) 

       
  b. x = p geeft  f(x) = 2log(p + 4)  en   g(x) = 5 - 2logp

Voor  0 < p < 4 is g > f
Dan is AB = 5 - 2logp - 2log(p + 4) = 2
3 = 2logp + 2log(p + 4)
3 = 2log(p(p + 4))
8 = p(p + 4)
p
2 + 4p - 8 = 0
p
= (-4 √(16 + 32))/2
p
= (-4 √48)/2
p
= -2 2√3   en de waarde tussen 0 en 4 is  p = -2 + 2√3

Voor p > 4 is f > g
Dan is  AB = 2log(p + 4) - 5 + 2logp = 2
7 = 2log p(p + 4)
p(p + 4) = 27 = 128
p2 + 4p - 128 = 0
p = (-4 √(16 + 512))/2
p =  (-4 √528)/2
p =  -2 √132 en de waarde groter dan 4 is  p = -2 + √132

       
  c. Stel dat de snijpunten van y = q met de grafieken van f en g liggen bij x = p en x = p + 10

Voor q > 3 geldt :  g(p) = f(p + 10)
5 - 2logp = 2log(p + 10 + 4)
5 = 2log(p + 14) + 2logp
5 = 2log(p(p + 14))
32 = p2 + 14p
p
2 + 14p - 32 = 0
p = (-14 (196 + 128))/2
p = (-14 √324)/2
p = 2    p = -16
de gezochte oplossing is p = 2  en dat geeft  q =  5 - 2log2 = 4

Voor q < 3 geldt  f(p) = g(p + 10)
2log(p + 4) = 5 - 2log(p + 10)
2
log(p + 4) + 2log(p + 10) = 5
2log((p + 4)(p + 10)) = 5
(p + 4)(p + 10) = 32
p2 + 14p + 8 = 0
p = (-14 √(196 - 32))/2
p = (-14 √164)/2
p = -7 √41
De gezochte oplossing is  p = -7 + √41 (≈ -0,6)
Dat geeft  q = f(p) = 2log(p + 4) ≈ 1,77
       
2. a. Zie hiernaast

f = g
4x - 1 = 40 - 4x
4x 4-1 = 40 - 4x
0,25 4x = 40 - 4x
1,25 4x = 40
4x = 32
(22)x = 25
22x = 25
2x = 5
x = 2,5

f  ≤  g  geldt dan voor x in  〈, 2.5]  

       
  b. x = p  geeft  f(x) = 4p - 1  en  g(x) = 40 - 4p

Voor p < 2,5:

AB = 30 = 40 - 4p - 4p - 1 
4p + 4p - 1 = 10
4p + 0,25 4p = 10
1,25 4p = 10
4p = 8
(22)p = 23
22p = 23
2p = 3
p = 1,5

Voor  p > 2,5:
AB = 30 = 4p - 1 - 40 + 4p
70 = 4p - 1 + 4p
70 = 0,25 4p + 4p
70 = 1,25 4p
4p = 56
p = 4log56  (≈ 2,90)
       
  c. Twee mogelijkheden:

f(p) = g(p + 1)
4p - 1 = 40 - 4p+1  
0,25 4p + 4 4p = 40
4,25 4p = 40
4p = 9,411
p = 4log9,411 = 1,62
Dan is  q = f(p) = 4p - 1 = 2,35

g(p) = f(p + 1)
40 - 4p = 4p
4p = 20
p = 4log20
q = g(p) = 40 - 20 = 20

       
3. a. Als A het midden van BC is, dan moet gelden;
f(p) = g(-p)
0,5p - 2 = 5 - 0,5-p
0,5p 0,5-2 = 5 - (0,5p)-1
noem 0,5p = a
Dat geeft  4a = 5 - 1/a
4a2 = 5a - 1
4a2 - 5a + 1 = 0
a = (5 √(25-16))/8 = (5 3)/8 = 1 of 1/4.

a
= 1 geeft  0,5p = 1 ⇒  p = 0 en dat is de flauwe oplossing A = B = C  en  q = 4

   
a
= 1/4 geeft  0,5p = 1/4 ⇒  p = 2
 
    Dan is  q = f(2) = 0,52-2 = 1  
       
  b. PQ = f(p) = 0,5p - 2
PR = g(p) = 5 - 0,5p
Als PQ : QR = 4 : 35  dan is  PQ = 4/39 PR  ofwel  39 PQ = 4 PR
39 0,5p - 2 = 4 (5 - 0,5p)
39 0,5p 0,5-2 = 20 - 4 0,5p
156 0,5p + 4 0,5p = 20
160 0,5p = 20
0,5p = 1/8
0,5p = 0,53
p = 3
       
4. Als AB = 3p  dan is AC = 5p
Dus moet gelden  f(3p) = g(5p)
6log(3p + 2) = 6log(5p) - 1/5
6log(5p) - 6log(3p + 2) = 1/5
6
log(5p/(3p + 2)) = 1/5
5p
/(3p + 2) = 61/5  = 1,43
5p = 1,43 (3p + 2)
5p = 4,29p + 2,86
0,71p = 2,86
p = 4,05
Dan is q = f(3p) = 1,48
       
5. a.  2log (1/x)  = 2log(8 - x)
1/x = 8 - x
1 = 8x - x2
x2 - 8x + 1 = 0
x = (8 √(64 - 4))/2 = 7,87  of  0,13
x = 7,87 geeft  y = -2,98
x = 0,13  geeft  y = 2,98
       
  b. De lengte van zo'n lijnstuk is  L =  2log(8 - x) - 2log(1/x)
L =  2log((8 - x) x) = 2log(8x - x2)
2logx is maximaal als x maximaal is.
in dit geval moet 8x - x2 maximaal zijn en dat is bij de top van deze parabool, dus bij  x = -8/-2 = 4
een langer lijnstuk is dus NIET mogelijk.
       
  c. y = h geeft met de grafiek van f(x) het snijpunt bij   2log(1/x) = h
1/x = 2   xP = 1/2h 

y = h  geeft met de grafiek van x het snijpunt  bij  2log(8 - x) = h
8 - x = 2h    xQ = 8 - 2h  

De afstand PQ = xQ - xP = 8 - 2h - 1/2h    
       
  d. 5,5 = 8 - 2h - 1/2h    
Noem 2h = a
Dan staat er  5,5 = 8 - a - 1/a
5,5a = 8a - a2 - 1
a2 - 2,5a + 1 = 0
(a  - 0,5)(a - 2) = 0
a = 0,5 ∨  a = 2
2h = 0,5  ∨  2h = 2
h = -1  ∨  h = 1
       
6. Stel  xB = p
Dan moet gelden:  xC = 3p  dus is  f(p) = f(3p)
2 (1/3)p p  = 2 (1/3)3p 3p
2 (1/3)p   = 6 (1/3)3p
(1/3)-2p = 6/2 = 3
-2p = -1
p = 1/2
q = f(p) = 2 (1/3)0,5 0,5 = √(1/3)
       
7. Stel  xB = 2p  dan is  xC = 5p
Dan moet gelden  f(2p) = f(5p)
-4 2p 2log2p  = -4 5p 2log5p
2 2log2p = 5 2log5p
2log(2p)2 = 2log(5p)5
(
2p)2 = (5p)5
4p2 = 3125p5
4p2 - 3125p5 = 0
p2 (4 - 3125p3) = 0
 
p = 0    4 = 3125p3
p = 0   p  = (4/3125)1/3 = 0,1086
p = 0,1086 geeft  q = f(2p) =  -4 2p 2log2p  = 1,9137
       
8. a. x = a  geeft  yf = 2log(a + 4)  en  yg = 8 - 2loga
De afstand  is  yf - yg  of  yg - yf.

yf  - yg =
3
2log(a + 4) - 8 + 2loga = 3
2log((a + 4)a) = 11
(a + 4)a = 211 = 2048
a2 + 4a - 2048 = 0  
de ABC-formule geeft  a = 43,3  ∨  a = -47,3
De oplossing die voldoet is a = 43,3

       
    yg - yf.= 3
8 - 2loga - 2log(a + 4) = 3
5 = 2loga + 2log(a + 4)
5 = 2log(a(a + 4))
25 = 32 = a(a + 4)
a2 + 4a - 32 = 0
de ABC-formule geeft dan   a = 4 ∨ a = -8
De oplossing die voldoet is a = 4
 
       
  b. Er moet gelden  f(p) = g(p + 130)  of  g(p) = f(p + 130)

f(p) = g(p + 130)
2log(p + 4) = 8 - 2log(p + 130)
2
log(p + 4) + 2log(p + 130) = 8
2log((p + 4)(p + 130)) = 8
(p + 4)(p + 130) = 28 = 256
p2 + 134p + 264 = 0
De ABC-formule geeft dan  p = -2    p = -132  
De oplossing die voldoet is p = -2
Dan is  b = f(p) = 2log(-2 + 4) = 1

g(p) = f(p + 130)
8 - 2logp = 2log(p + 134)
8 = 2logp + 2log(p + 134)
8 = 2log(p(p + 134))
28 = 256 = p(p + 134)
p2 + 134p - 256 = 0
De ABC-formule geeft dan   p = 1,88  ∨  p = -135,88
De oplossing die voldoet is p = 1,88
Dan is b = g(p) = 8 - 2log(1,88) = 7,09

       
9. a. 4ex = p
ex = p/
4
x = ln(p/4)
 
       
  b. 2 - e-2x = p
e
-2x = 2 - p
-2x = ln(2 - p)
x = -1/2ln(2 - p)
x = ln(2 - p)-0,5
x = ln(1/√(2 - p))
 
       
  c. De lengte van AB is  L =  xB - xA = -1/2ln(2 - p) -  ln(p/4)
L = -0,5ln(2 - p) -  (ln(p) - ln4)
L = -0,5ln(2 - p) - lnp + ln4
       
  d. De lengte is minimaal als de afgeleide nul is.
L ' = -0,5 1/(2 - p) -1 - 1/p = 0
0,5/(2 - p) = 1/p
0,5p = 2 - p
1,5p = 2
p = 4/3
Dan is L = -0,5ln(2 - 4/3) - ln4/3 + ln4  = 1,30
       
10. a. x = p  geeft  yA = √p lnp  en  yB = √p
Dan is AB = yB - yA = √p - √p lnp = √p (1 - lnp)
       
  b. AB is maximaal als de afgeleide nul is:
1/2√p (1 - lnp) + √p -1/p = 0
1/(2√p) (1 - lnp) =  p/p =  1/p
1 - lnp = 2
lnp = -1
p = e-1
 
       
  c. De oppervlakte van driehoek OAB is  0,5 p AB = 0,5pp (1 - lnp)  = 0,5p1,5 (1 - lnp)
De oppervlakte is maximaal als de afgeleide ervan nul is;
1,5 0,5 p0,5 (1 - lnp) + 0,5p1,5 -1/p = 0
0,75p0,5(1 - lnp) = 0,5p0,5
0,75(1 - lnp) = 0,5
1 - lnp = 2/3
lnp = 1/3
p = e1/3
       
11. a. yR = 1
2logxR = 1
xR = 2
xQ = 2
yQ = 22 = 4
yP = 4
2logxP = 4
xP = 24 = 16  dus P = (16, 4)
       
  b. Punt S bestaat niet als yS ≤ 0
yS = 0  geeft  yR = 0
2logxR = 0
xR = 1
xQ = 1
yQ = 21 = 2
yP = 2
2logxP = 2
xP = 22 = 4
Als xP ≤ 4 dan bestaat punt S niet.
       
12. a. Stel xA = p, dan is  xB = p + 3
Die moeten dezelfde y opleveren
Dus  log(p) = log(p + 3)(p + 3)) - 1
Y1 = log
(X)
Y2 =
log((X + 3)(X + 3)) - 1
intersect geeft twee snijpunten:
X = 4,8648... en  Y = q = 0,34
X = 0,38936... en Y = q = -0,20
       
  b. DE =  log(pp) - 1
CE = log
(p)
CD = DE - CE = 
 log(pp) - 1 -  log(p)
CD =
 log(pp) - log10 -  log(p)
CD =
 log(pp/1p) - 1  = log(p) - 1
CE = log(p0,5) = 0,5logp
 
    CD/CE = (logp - 1)/0,5logp = (2logp - 2)/logp  
       
  c. Deel teller en noemer door log(p):
   
    als log(p) naar oneindig gaat, gaat 2/log(p) naar nul.
Dan gaat de breuk naar 2/1 = 2
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)