© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 1 + 4logx = 31/2 - 2 • 4log(2x)
4logx + 2 · 4log(2x) = 2,5
4logx + 4log(2x)2  = 2,5
4logx + 4log(4x2) = 2,5
4log(4x3) = 2,5
4x3 = 42,5 = 32
x3 = 8
x = 2
       
  b. 0,5logx = 2 - 3 • 4logx
   
    Dat geeft:   4logx -2 + 3 · 4logx = 2
4
log x-2 + 4logx3 = 2
4log(x-2 · x3) = 2
4logx  = 2
x = 42 = 16
       
  c.
    Dat geeft:  0,2log(x2 - x) = 0,2logx
x
2 - x = x
x
2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0  ∨  x = 2
De eerste valt af, dus blijft over  x = 2
       
  d. 1/23logx = 3logx - 3log5
3logx0,5 = 3log(x/5)
x0,5 = x/5
x = x2/25
25x - x2 = 0
x(25 - x) = 0
x = 0  ∨  x = 25
De eerste valt af, dus blijft over x = 25
       
  e. 2 • logx = 1 + log(x + 20)
logx2 - log(x + 20) = 1
log(x²/(x + 20)) = 1
x²/(x + 20) = 10
x2 = 10(x + 20)
x2 - 10x - 200 = 0
(x - 20)(x + 10) = 0
x = 20   x = -10
de eerste valt af, dus blijft over x = 20
       
  f.
    Dat geeft:  49logx2 = 1 +  49log(x - 10)
49logx2 - 49log(x - 10) = 1
49log(x² /(x - 10)) = 1
x² /(x - 10) =  49
x2 = 49(x - 10)
x2 - 49x + 490 = 0
(x - 35)(x - 14) = 0   (het mag ook met de ABC-formule)
x = 35   ∨   x = 14
Beide oplossingen voldoen.
       
2. a. 2 + 3log(6 - x) = 5
3log(6 - x) = 3
6 - x = 3= 27
x = -21

Hiernaast zie je dat de oplossing is  [-21, 6

 

 

  b. 5 - 2logx = 4
2logx = 1
x = 2

Hiernaast zie je dat de oplossing is  〈0, 2

 

       
  c. 0,5log(2x - 4) - 2 = 0
0,5log(2x - 4) = 2
2x - 4 = 0,52 = 0,25
2x = 4,25
x = 2,125

Hiernaast zie je dat de oplossing  is 〈2, 2.125

       
  d. 2log(x - 4) =  2log(20 - 2x)
x - 4 = 20 - 2x
3x = 24
x = 8

Hiernaast zie je dat de oplossing is  [8, 10〉

       
  e. 4 + 2 • 0,5log(5 - x) = 0
2 · 0,5log(5 - x) = -4
0,5log(5 - x) = -2
5 - x = 0,5-2 = 4
x = 1

Hiernaast zie je dat de oplossing is 〈1, 5

       
  f.

    Dat geeft  2log(x - 4) =  5 +  2logx-1
2log(x- 4) - 2logx-1 = 5
2log((x - 4)/x-1) = 5
(x - 4)/x-1 = 25 = 32
x(x - 4) = 32
x2 - 4x - 32 = 0
(x - 8)(x + 4) = 0
x = 8  ∨  x = -4
De oplossing is x = 8

Hiernaast zie je dat de oplossing is  〈5, 8]
       
3. a. Als u 10 keer zo groot wordt, dan wordt 
Mnieuw = 3 + log(10u)  = 3 + log10 + logu = 3 + logu + 1 = Moud + 1
Dat is inderdaad een toename van 1.
       
  b. 2,4 = 3 + log(u)
-0,6 = logu
u
= 10-0,6 = 0,251 mm
       
  c. 1,0 = 3 + log(u)    logu = -2   u = 10-2 = 0,010
1,2 = 3 + log(u)    logu = -1,8   u = 10-1,8 =  0,016
Dat is dus 1,6 keer zo groot.  
       
  d. Voor elke magnitude extra wordt vermenigvuldigd met 30, dus dit is een exponentiële formule met g = 30
De beginwaarde is  E(0) = 990000/30 = 33000
De formule is dan  E = 33000 • 30M
       
  e. Noem E de hoeveelheid energie van een beving van magnitude 1
Vervang E door 2E:
2E = 33000 • 30M
2E
/33000 = 30M 
M = 30log(2E/33000) = 30log2 + 30log(E/33000)
Maar dat laatste is precies de magnitude die bij E hoort, dus gelijk aan 1
Dat geeft  M = 30log2 + 1 = LOG(2)/LOG(30) + 1 = 1,2
       
4. 400 en 3500 invullen:    3500 = k • log400   k = 3500/log400 = 1345
De nieuwe situatie wordt n = 2800;
2800 = 1345 • logA
logA = 2,082
A = 102,082 = 121 km2
Dan is er 400 - 121 = 279 km2 gekapt en dat is 279/400 • 100% = 69,8%
       
5. a. Als t = 0 moet Z natuurlijk ook 0 zijn.
0 = 1 +  1,14log(p • 0 + c)
0 = 1 + 1,14logc
-1 = 1,14logc
c
= 1,14-1 = 0,88  
       
  b. 2 uur en 17 m3 invullen:
17 = 1 + 1,14log(p • 2 + 0,88)
16 = 1,14log(2p  + 0,88)
2p + 0,88 = 1,1416 = 8,14
2p = 7,26
p = 3,63

Z = 25 geeft dan   25 = 1 + 1,14log(3,63t + 0,88)
24 = 1,14log(3,63t + 0,88)
3,63t + 0,88 = 1,1424  = 23,21
3,63t = 22,33
t = 6,15 uur
       
  c. In één keer:
50 = 1 + 1,14log(4t + 0,88)
49 = 1,14 log(4t + 0,88)
4t + 0,88 = 1,1449 = 614,24
4t = 613,36
t = 153,34 uur.

In drie uur maakt men Z = 1 + 1,14log(3 • 4 + 0,88) = 20,50 m3 zoet water.
Als men dat twee keer doet heeft men al 41,01 m3 en dan moet er nog 8,99 m3worden geproduceerd
8,99 = 1 + 1,14log(4t + 0,88)
7,99 = 1,14log(4t + 0,88)
4t + 0,88 = 1,147,99 = 2,85
4t = 1,97
t = 0,49 uur.
In totaal heeft men voor deze tweede manier dus  3 + 3 (schoonmaken) + 3 + 3 (schoonmaken) + 0,49 = 12,49 uur nodig.

Dat geeft een tijdwinst van  153,34 - 12,49 = 140,85 uur.
       
  d. Stel dat men t uur pompt, dan 3 uur schoonmaakt en dan nog eens 12 - t uur pompt.
De eerste keer maakt men  Z = 1 + 1,14log(4t + 0,88) m3 zoet water.
De tweede keer maakt men  Z = 1 + 1,14log(4(12 - t) + 0,88) m3 zoet water.
In totaal is dat  ZT = 1 + 1,14log(4t + 0,88) + 1 + 1,14log(4(9 - t) + 0,88)
Y1 = 1 + log(4X + 0,88)/log(1,14)  + 1 + log(4(9 - X) + 0,88)/log(1,14)
calc - maximum geeft dan  t = 6  en Z = 51,1 m3
(diehadden we uit symmetrie-overwegingen trouwens wel kunnen verzinnen, zie je hoe?)
       
6. a. 50A - 24 > 0
50A > 24
A > 0,48
 
       
  b. L = 1,5log(50•8 – 24) = 1,5 log16,67  = LOG(16,67)/LOG(1,5) = 6,94 dagen
       
  c. 10 = 1,5log(50A – 24)
50A - 24 = 1,510 = 57,67
50A = 81,67
A = 1,63 cm2
 
       
  d. Als je met constante verticale snelheid langs de grafiek omhoog gaat (L constant laat toenemen) dan gaat de grafiek steeds sneller naar rechts, dus A groeit steeds sneller.
       
7. a. f(x) = 3log(x + 4) - 1/3 log(5 - x)
vanwege het  eerste deel moet  x + 4 > 0  dus  x > -4
vanwege het tweede deel moet  5 - x > 0  dus  x < 5
Samen geeft dat domein  〈-4, 5ñ
       
  b. 3log(x + 4) - 1/3 log(5 - x) = 3log8  
   
    Dat geeft:   3log(x + 4) - - 3log(5 - x) = 3log8
3log(x + 4) + 3log(5 - x) = 3log8
3log((x + 4)(5 - x)) = 3log8
(x + 4)(5 - x) = 8
5x - x2 + 20 - 4x = 8
x2 - x - 12 = 0
(x - 4)(x + 3) = 0
x = 4 ∨  x = -3
Beide oplossingen liggen in het domein.
       
  c. Op precies dezelfde manier als hierboven (met a in plaats van 8) krijg je de vergelijking:
x2 - x + a - 20 = 0
Er zijn in principe verschillende manieren om maar één oplossing te krijgen.

Als de discriminant van de bovenstaande kwadratische vergelijking nul is, is er maar één oplossing.
(-1)2 - 4 • 1 • (a - 20) = 0
1 - 4a + 80 = 0
81 = 4a
a
= 20,25
dat geeft  x2 - x + 0,25 = 0
(x - 0,5)2 = 0
x = 0,5  en dat ligt inderdaad in het domein.

Als er twee oplossingen voor x zijn, maar eentje valt buiten het domein, dan is er ook maar één oplossing.
Laten we de grensgevallen uitrekenen.
x =
-4  geeft  (-4)2 - - 4 + a - 20 = 0  en dat geeft  a = 0
x = 5  geeft  52 - 5 + a - 20 = 0  en dat geeft  a = 0
x < -4  of  x > 5  geeft  a < 0 en dan zijn er dus helemaal geen oplossingen.

De enige manier om één oplossing te krijgen blijkt  a = 20,25 te zijn.

       
8. a. y = (xlog4 + 4logx - 2)  
    Wat de logaritme betreft moet  x groter dan nul zijn.

Wat de wortel betreft moet gelden  xlog4 + 4logx - 2  ≥ 0
Los daarom eerst op xlog4 + 4logx - 2  = 0
     
    Dat bestaat niet als  x = 1

Noem nu 4logx = p, dan staat er:   1/p + p - 2 = 0
1 + p2 - 2p = 0
(p - 1)2 = 0
p = 1 
4logx = 1 ⇒  x = 4
Dat geeft het tekenbeeld:   (0)-----(1)++++++(4)++++++

Deze functie bestaat voor x > 1

       
  b.
    (bij de tweede stap is het tussenresultaat van vraag a) gebruikt)
       
9. a. Het geluidsniveau bij de mensen moet dan 20 dB zijn, dus het geluidsniveau vóór de wal  63 dB.
63 = 28log(v) + 16 
⇒  47 = 28 log(v
⇒  log(v) = 1,6785... 
⇒  v = 101,6785... = 47,70...
De snelheid is dus 48 km/uur

(het mag uiteraard ook met de GR: intersect)
       
  b. 28log(v) + 16 = 36log(v) + 1 
⇒  15 = 8log(v
⇒  log(v) = 1,875 
⇒  D = 101,875 = 74,989...
       
  c.

D1 = 28log(2v) + 16 = 28 • (log(2) + log(v)) + 16 = 28log(2) + 28log(v) + 16 = D2 + 28log(2)
Dus de snelste auto heeft een geluidsniveau dat 28log(2) groter is (ongeveer 8,4288... dB)

       
10. a. Nmax = (8289,3 • (1,778 - log 5,40))/5,40 ≈ 1605
1740 is meer dan 1605 dus de weg voldoet NIET aan de veilige norm.
       
  b. Nmax is positief als 1,778 - logB > 0 dus als  logB < 1,778
logB = 1,778 ⇒  B = 101,778  ≈ 59,98 m = 5998 cm.
Als 0 < B < 5998 cm dan is Nmax positief.
       
  c. 1648 = (8289,3 • (1,778 - logB))/B
Y1 = 1648  en  Y2 =  (8289,3 • (1,778 - logX))/X
Window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 10,   Ymin = 0,  Ymax = 2000
Intersect geeft  B = 5,30
De breder gemaakte weg is dus 4,80 m breed.
Dat geeft  Nmax =   (8289,3 • (1,778 - log4,80))/4,80 = 1894
Dat zijn 1894 - 1648 = 196 auto's per uur méér.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)