© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. 0,5x = x  is het snijpunt van de grafiek van y = 0,5x met de lijn y = x
Maar omdat  0,5x en 0,5logx elkaars gespiegelde in de lijn y = x zijn, gaan ze beiden door hetzelfde snijpunt met die lijn. Waar ze elkaar snijden moet dus wel op de lijn y = x zijn.

Y1 = 0,5x  en Y2 = x  en dan intersect geeft snijpunt  (0.64, 0.64)
       
2. a. asymptoot x = 0  en bestaat voor x > 0
Grondtal 0,5 dus dalend. Zie hiernaast.

       
  b. Asymptoot x = 4  en bestaat voor x > 4
Grondtal 3, dus stijgend. Zie hiernaast.

       
  c. Asymptoot x = 0, bestaat voor x > 0
Grondtal 2, dus stijgend.
Door de +4 is hij 4 omhoog geschoven.
Zie hiernaast

       
  d. Asymptoot x = 2, bestaat voor x < 2
Grondtal 4, dus stijgend, maar "omgeklapt"
Zie hiernaast.

       
3. a. Asymptoot  x = 3, de grafiek bestaat voor x > 3.
Grondtal 2 dus stijgend.
Zie hiernaast.

     
  b. 2log(x - 3) = 2
x - 3 = 22 = 4
x = 7
In de figuur zie je dat de grafiek dan onder de lijn y = 2 zal liggen voor  3 < x 7
       
  c. De grafiek gaat nu door  (5, 1)
Schuif hem 6 omhoog en hij gaat door  (5, 7)
Dat geeft de formule  y = 6 + 2log(x - 3)

De grafiek gaat nu door (7, 2)
Schuif hem 2 naar links en 5 omhoog en hij gaat door  (5, 7)
Dat geeft de formule  y = 5 + 2log(x - 1)
       
4. a. asymptoot bij x = 0 en de grafiek bestaat voor x > 0
Grondtal kleiner dan 1, dus de grafiek daalt.
Zie hiernaast

     
  b. 0,1log(2x) = -2
2x = 0,1-2 = 100
x = 50
In de figuur zie je dat de grafiek dan boven de lijn y = -2 zal liggen voor  0 < x 100
       
  c. 0,1log(4x) ontstaat uit 0,1log(2x) door x te vervangen door 2x
Voor de grafiek betekent dat, dat de afstand tot de y-as van elk punt de helft wordt ("vermenigvuldiging tov de y-as met factor 0,5").
       
5. a. g ontstaat uit f door hem 1 omhoog te schuiven.  
       
  b. y = p snijden met f:   4logx = p  ⇒  x = 4p   dus A = (4p, p)
y = p snijden met g:  4logx + 1 = p   4logx = p - 1  x = 4p - 1    dus B = (4p - 1, p)

Dan is  AB = 4p - 4p - 1  =  4p - 4p • 4-1 = 4p • (1 - 1/4)  = 3/4 • 4p
       
  c.  3/4 • 4p = 15
4p =  20
p = 4log20     (= 2,16)
 
       
6. x = 8  geeft  y1 = 2log8 = 2log23 = 3
x = 8  geeft  y2 = 2log(4/8) = 2log(0,5) = 2log(2-1) = -1

y = 3  geeft  voor x2:  3 = 2log(4/x)  ⇒  4/x = 23 = 8   x = 0,5
y =
-1  geeft voor x1:  -1 = 2logx   x = 2-1 = 0,5

Het is dus inderdaad een rechthoek door de punten   (8, 3) (8, -1), (0.5, 3)  en  (0.5, -1)
De omtrek is dan  7,5 + 4 + 7,5 + 4 = 23.   
       
7. a. Er is een verticale asymptoot bij log0
Dus als  x2 - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0  ∨  x = 1
       
  b. y = 0  geeft  2log(x2 - x ) = 0
x2 - x = 20 = 1
x2 - x - 1 = 0
ABC:  x = (1 ± (1 + 4))/2  =  (1 ± 5)/2  = 1/2 ± 1/25
het verschil daartussen is  (1/2 + 1/25) - (1/2 - 1/25) = 5 dus AB = 5
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)