Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

0,75^T = 0,5.
Y1 = 0,75^X en Y2 = 0,5 en dan intersect geeft T = 2,41

0,1^T = 0,5
Y1 = 0,1^X en Y2 = 0,5 en dan intersect geeft T = 0,3

0,998^T = 0,5.
Y1 = 0,998^X en Y2 = 0,5 en dan intersect geeft T = 346

met g = 1,05 zal de hoeveelheid niet halveren, maar juist toenemen.
Je zou kunnen spreken van een negatieve halveringstijd: 1,05^T = 0,5 geeft T = -14,2

g⁵ = 0,5 ⇒ g = 0,5^1/5 = 0,87

g^12,8 = 2 ⇒ g = 2^1/12,8 = 1,056

g_oud^T = 0,5
g_nieuw^2T = 0,5 maar g_nieuw^2T = (g_nieuw²)^T
dus moet gelden g_nieuw² = g_oud
om g_nieuw krijgen moet je dus de wortel van g_oud nemen.

g²⁴⁴⁰⁰ = 0,5 geeft g = 0,5^1/24400 = 0,9999716
om 10% te krijgen moet gelden g^x = 0,10, dus 0,9999716^x = 0,10
Y1 = 0,9999716^X en Y2 = 0,10 en dan intersect geeft t = 81000 jaar

0,9999716¹⁰⁰ = 0,997
er blijft 99,7% over, dus de afname is 0,3%

halveringsdikte 60 betekent g⁶⁰ = 0,5 ⇒ g = 0,5^1/60 = 0,98851 en dat is de groeifactor per mm dikte.
0,01 = 0,98851^x moet gelden als 1% wordt doorgelaten.
Y1 = 0,01 en Y2 = 0,98851^X en dan intersect geeft X = 398 mm dikte

De halfwaardetijd van Jodium-181 is 8 dagen, dus g⁸= 0,5
Daaruit volgt g = 0,5^1/8 = 0,917
Omdat de beginhoeveelheid tien keer te groot is, moet er gewacht worden tot er nog maar 10% van over is.
0,10 = 0,917^t
Y1 = 0,10 en Y2 = 0,917^X en dan intersect geeft X = 26,6 dagen

Cesium-137 heeft een halfwaardetijs van 30 jaar, dus g³⁰ = 0,5
Daaruit volgt g = 0,5^1/30= 0,9772 (groeifactor per jaar)
1995 was t = 9 (t = 0 is moment van ontploffing)
Dus geldt 6800 = B • 0,9772⁹
6800 = B • 0,813
B = 8370 Bq/kg

Voor halveren moet gelden: 2^-d/1.39 = 0,5
2^-d/1.39 = 2^-1

-d/_1,39 = -1
d = 1,39 mm

2^-d/1.39 = (2^-1/1.39)^d en g = 2^-1/1.39 = 0,6073

Als B = 100% dan geldt: y = 100 • 0,6073⁶ = 5,02
Er blijft 5% van de 100% over

halfwaardetijd 5,27 jaar betekent g^5,27 = 0,5 g = 0,5^1/5,27 = 0,8768
3 • 10¹⁶ = 5 • 10¹⁶ • 0,8768^t betekent dat 0,8768^t = 0,6
Y1 = 0,8768^X en Y2 = 0,6 en dan intersect levert X = 3,9 jaar

Als elke graad temperatuurverlaging de tijd waarin de bacterie zich deelt met 30% verhoogt, dan wordt die tijd elke graad met 1,3 vermenigvuldigd.
Van kamertemperatuur naar koelkasttemperatuur is 15ºC verschil.
20 • 1,3¹⁵ = 1023,7 minuten en dat is ^1023,7/₆₀ = 17,06 uur dus dat klopt inderdaad

delen kost 17 uur en dan zijn er dubbel zoveel, dus g¹⁷ = 2 ⇒ g = 2^1/17 = 1,0416 (per uur)
1000000 = 10 • 1,0416^t
Y1 = 1000000 en Y2 = 10 * 1,0416^X en dan intersect geeft t = 282,5 uur

delen kost 20 minuten en dan zijn er dubbel zoveel, dus g²⁰ = 2 ⇒ g = 2^1/20 = 1,0326 (per minuut)
1000000 = 10 • 1,0326^t
Y1 = 1000000 en Y2 = 10 * 1,0326^X en dan intersect geeft t = 359 minuten en dat is ongeveer 6 uur

De verdubbelingstijd V is bij 42º groter dan bij 40º ,
dus het duurt langer voordat het verdubbelt,
dus de groei is minder sterk bij 42º dan bij 40º

De groei is het sterkst als V het kleinst is, en dat is als de noemer het grootst is.
-T² + 75T - 1350 is een bergparabool met de top bij ^-75/_-2 = 37,5ºC
Dus bij 37,5ºC is de groei het sterkst.

Zonder middel geldt V = ^16,9/_(-352_{+ 75 •
35 - 1350)}= 0,338
Verdubbelingstijd 0,338 betekent g^0,338 = 2 g = 2^1/0,338 = 7,7736
Dat zou een eindhoeveelheid geven van y = 242 • 7,7736¹= 1881 bacteriën
dat scheelt 1881 - 1547 = 334 bacteriën en dat is ³³⁴/₁₈₈₁ • 100% = 17,8%
Het wijkt inderdaad meer dan 10% af van de verwachte hoeveelheid.

10.

De formule moet kloppen met (30, 366) en (70, 380)
³⁸⁰/₃₆₆ = 1,038 en dat is g⁴ (periodes van 10 jaar) dus g = 1,038^1/4 = 1,0094
(30, 366) invullen: 366 = B • 1,0094³ = B • 1,0286 dus B = ³⁶⁶/_1,0286 = 355,8
Dat geeft de formule C = 355,8 • 1,0094^t

verdubbelingstijd 5,7666 betekent g^5,7666 = 2 ⇒ g = 2^1/5,7666 = 1,1277
een toename van 7,3% betekent factor 1,073
een toename van 5,1% betekent factor 1,051
samen is dat factor 1,073 • 1,051 = 1,1277 en dat klopt inderdaad.

jaar	1880	1890	1920	1960	1970
ΔT	0,010	0,014	0,038	0,148	0,207

de factoren voor ΔT per 10 jaar zijn:
^0,014/_0,010 = 1,4
^0,038/_0,014 = 2,714 maar dat is g³ dus g = 1,7142^1/3 = 1,4
^0,148/_0,038 = 3,895 maar dat is g⁴ dus g = 3,895^1/4 = 1,4
^0,207/_0,148 = 1,4
Die factoren zijn allemaal ongeveer gelijk aan 1,4 dus de toename is exponentieel.