© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 4,22/12,94 = 0,326
1,38/4,22 = 0,327
0,45/1,38 = 0,326
0,147/0,45 = 0,327
Dat is ongeveer gelijk aan 0,33
maar het zijn stapjes van 5, dus  g5 = 0,33
dan is g = 0,331/5 = 0,8
       
  b. 3,42/2,43 = 1,4074
4,81/3,42 = 1,4064
6,77/4,81 = 1,4075
9,53/6,77 = 1,4077
Dat is ongeveer gelijk aan 1,41
maar het zijn stapjes van 7, dus g7 = 1,41
dan is g = 1,411/7 = 1,05
 
       
  c. 5,34/6,77 = 0,7888
4,21/5,34 = 0,7884
3,31/4,21 = 0,7862
2,61/3,31 = 0,7885
Dat is ongeveer gelijk aan 0,79
maar het zijn stapjes van  2,5,  dus  g2,5 = 0,79
dan is g = 0,791/2,5 = 0,91 
 
       
  d. 16,58/19,21 = 0,8631
14,30/16,58 = 0,8625
12,34/14,30 = 0,8629
10,65/12,34 = 0,8630
Dat is ongeveer gelijk aan 0,86
maar het zijn stapjes van 1,4  dus  g1,4 = 0,86
dan is  g = 0,861/1,4 = 0,9
 
       
2. g per maand is  1,0075
g per jaar is dan  1,007512 = 1,0938
dat betekent  9,38% rente per jaar.
       
3. a. g24 = 4,3  dus  g = 4,31/24 = 1,063  
       
  b. g = 1,0360 = 5,89  
       
  c. g7 = 8  dus  g = 81/7 = 1,3459
dat betekent 34,59%  toename per dag
 
       
  d. de factor per uur is 1 - 0,054 = 0,946
de groeifactor per dag is dan g = 0,94624 = 0,264
 
       
  e. de factor per week is 1,12,  dus g7 = 1,12
dan is g = 1,121/7 = 1,016
 
       
  f. de factor per week is 2.
een week heeft  24 • 7 = 168 uren
dus  g168 = 2
dan is g = 21/168 = 1,004
dat is 0,4% toename per uur.
 
       
4. a. 1,05 groeifactor per half jaar is  1,052 = 1,1025 groeifactor per jaar dus dat is 10,25%
dat is 0,25% extra en dat levert  0,0025 • 80000 = €200 extra op.
       
  b. als je de rente per 1/n de jaar vraagt krijg je  10/n procent rente
de groeifactor per 1/n de jaar is dan   1 + 1/(10n)
maar die factor krijg dan n keer per jaar, dus dat geeft voor het hele jaar een groeifactor g = (1 + 1/(10n))n
vul nu voor n een oneindig groot getal in, dan vind je g = 1,10517
dat geeft in een jaar 1,10517 • 80000 =  €88413,67

(N.B. kenners herkennen natuurlijk in deze g het getal  e0,1 )
       
5. van 4000 naar 7649,76 is een factor  7649,76/4000 = 1,91244
dat moet gelijk zijn aan 1,005n
Y1 = 1,005^X en Y2 = 1,91244  en dan intersect levert X = 130
in 5 jaar wordt de rente 130 keer bijgeschreven , dus dat is 26 keer per jaar:  elke 2 weken.
       
6. over drie maanden was de factor  0,49, immers als er 51% afgaat, dan blijft er nog 49% over.
als g de factor per maand is, geldt dus  g3 = 0,49   ofwel  g = 0,491/3 = 0,7884
over 4 maanden is de factor  g4 = 0,3863 dus is er 38,63% over dus is er 61,37% afgegaan.
       
7. a tussen 0 en 1 km is de factor  648/760 = 0,8526
dat zijn 10 stapjes van 100 meter, dus voor de g van 100 meter geldt  g10 = 0,8526
dan is g = 0,85260,1 = 0,984
op 100 meter is de druk dan 760 = • 0,984 = 748 mm Hg
       
  b. 100 m is 12,5 keer 8 m dus volgens de vuistregel daalt de luchtdruk met 12,5 hPa
op hoogte 0 is de luchtdruk 760 mm Hg en dat is 760 • 4/3 = 1013,33 hPa
op hoogte 100 m zou de luchtdruk dan  1013,33 - 12,5 = 1000,83 hPa zijn
1000,83 hPA = 1000,83 • 3/4 = 751 mm Hg
het exponentiλle mode; gaf  748 mm Hg
dat scheelt dus 3 mm Hg
       
8. a. je kunt de overlevingskans beschouwen als een groeifactor
9 jaar geeft een factor 0,4
dus voor g per jaar geldt  g9 = 0,4  ofwel  g = 0,41/9 = 0,9032
 
       
  b. als de overlevingskans per jaar gelijk is aan 0,9, dan is die kans per 4 jaar gelijk aan 0,94 = 0,6561
het deel opgeheven bedrijven zal dan gelijk zijn aan 1 - 0,6561 = 0,3439 = 34,4%
dat klopt met de grafiek.
       
9. a. Van 65 naar 93 is een groeifactor  93/65 = 1,4308
Dat is in een periode van 4 jaar.
Als de groeifactor per jaar g is, geldt dus  g4 = 1,4308  dus  g = 1,43081/4 = 1,094
Dat is een percentage van 9,4%
       
  b. Maak formules voor de hoge en de lage schatting met t = 0 in 2005.
Die formules zijn exponentieel dus van de vorm  y = B • gt
Hoge schatting  H(t) = 93 • 1,095t
Lage schatting  L(t) = 65 • 1,085t
Het verschil daartussen is  H - L =   93 • 1,095t - 65 • 1,085t
Wanner is dit 50?
Plot Y1 = 93 • 1,095t - 65 • 1,085t   en  Y2 = 50
Intersect geeft  t = 6  dus dat is in 2011
 
       
10. Als het in 2,5 uur halveert dan geldt g2,5 = 0,5
Dan is g = 0,51/2,5 = 0,7579
Na zes uur geeft dat factor  0,75796  = 0,189 en dat is inderdaad ongeveer 19%
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)