h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Vul de oplossing  y = 0,5 (ecx - e-cx)  gewoon in in de vergelijking y' = c √(1 + y2)
Dat geeft:

y' = 0,5 (cecx + ce-cx)

c
√(1 + y2)
= c
√(1 + (0,5(ecx - e-cx))2 )
= c √(1 + 0,25(e2cx - 2ecxe-cx + e-2cx))
= c √(1 + 0,25(e2cx + e-2cx - 2))
= c √(0,5 + 0,25e2cx + 0,25e-2cx )
= c √(0,25(2 + e2cx + e-2cx))      (haal 0,25 buiten haakjes zodat die buiten de wortel kan)
= c 0,5√(e2cx  + 2 + e-2cx)          (2 kun je zien als  2 ecx e-cx , dan staat er  √(a2 + 2ab + b2))
= c 0,5√((ecx + e-cx)2)
= c 0,5 (ecx + e-cx)
En daar staat inderdaad precies de y' van bovenaan.
       
2. a. De helft van het touw heeft lengte 40 cm.
 h'  = 1/2 (ecx - e-cx) = c 40   waarbij x de horizontale afstand is, in dit geval 20
Y1 = 0,5 * (e^(20X) - e^(-20X))  en  Y2 = 40X  en dan intersect geeft  c = 0,1089
Dat geeft de vergelijking  h(x) = 4,591 (e0,1089x + e-0,1089x)
       
  b. De ophangpunten zijn x = 20
De helling is gelijk aan h':   h'  = 4,591 (0,1089 e0,1089x - 0,1089 e-0,1089x)
Dat geeft  h'(20) = 4,357 en dat is de helling is het rechter ophangpunt.

(De ketting maakt met de horizontale lijn een hoek waarvoor  tanα = 4,357 dus  α = 77,1
Dus met de ophangpaal maakt de ketting een hoek van 12,9)
       
3. x1 = 0 en  x2 = 60 en  y1 = 120  en  y2 = 90
y1 - y2 = 30
vergelijking (1) wordt dan :   30 =  1/2c (ec(0 - x0) + e-c(0 - x0) - ec(60 - x0) - e-c(60 - x0) )
vergelijking (2) wordt dan:   1/2c (ec(x0 - 0) - e-c(x0 - 0) + ec(60 - x0) - e-c(60 - x0)
een aantal c's gokken geeft achtereenvolgens:   (L moet 150 worden)
       
 
c 0,1 0,05 0,08 0,085 0,083 0,084 0,0839 0,08398 0,08399
x0 31,492 36,907 32,722 32,341 32,487 32,413 32,420 32,414 32,4137
L 202,59 90,301 139,91 152,73 147,40 150,03 149,77 149,977 150,005
       
  Laten we die laatste maar als benadering nemen
Dat geeft:
 
  Dat geeft  h(0) = 181,176 dus dat moet nog 121,176 omlaag worden geschoven
De formule wordt dan:
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)