© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. f '(x) = 4 · 3x · ln3  dus  f '(2) =  4 · 32 · ln3 = 39,55
       
  b. g ' = -2x  · ln2  = -9
2x  = -9/-ln2 = 12,98 
x = 2log12,98 = log(12,98)/ log(2) = 3,7
Dat geeft  y = 5 - 23,7 = -7,98
Dat is het punt  (3.70,  -7.98)
       
  c. y' = 8 - 3x  · ln3 = 0
8 = 3x  · ln3
3x =  8/ln3 = 7,28
x = 3log 7,28 = log(7,28)/log(3) = 1,8
Dat geeft  y = 8 · 1,8 - 31,8 = 7,2
Het maximum is  (1.8, 7.2)
       
  d. h' = -0,5x  · ln0,5
h '(-1) = -0,5-1 · ln0,5 = 2ln2
(-1, 0) invullen:   0 = 2ln2 · -1 + b  geeft  b  = 2ln2
De raaklijn is dan y = xln2 + 2ln2
       
2. a.
lengte L (in cm) 46,4 44,1 41,9 39,8 37,8
na wasbeurt nr.: 5 6 7 8 9
 
    de factoren zijn  44,1/46,4 = 0,95  en   41,9/44,1 = 0,95  en  39,8/41,9 = 0,95  en   37,8/39,8 = 0,95
Dat is allemaal gelijk dus het verloop is exponentieel met groeifactor  g = 0,95
Punt invullen:   46,4 = B · 0,955   geeft  B = 60
Dat geeft dus  L = 60 · 0,95n
       
  b. Het krimpt met 0,4 cm als de afgeleide gelijk is aan -0,4.
L ' = 60 · 0,95n · ln0,95  = -0,4
0,95n = 0,13
n = log(0,13)/log(0,95) = 40

Er moet gelden  L(n) - L(n - 1) = -0,4
60 ·0,95n - 60 · 0,95n - 1 = -0,4
0,95n - 0,95n  · 0,95-1 = -0,006667
0,95n (1 - 0,95-1) = -0,006667
0,95n = 0,12667
n = log(0,12667)/log(0,95) = 40 		 
       
3. a. 3 • 46 - 2x • ln4 • -2  =  -6ln4•46 - 2x  
       
  b. 2 + 3√x • ln3  • 0,5 • x-0,5  
       
  c. 4(2x + 3)3 • 2x • ln2  
       
  d. 1 • 5x + x • 5x • ln5  =  5x • (1 + xln5)  
       
  e. 0,5(x + 3x)-0,5 • (1 + 3x • ln3)  
       
  f. -12 • 0,54x - 2 • ln0,5 • 4  = -48ln0,5 • 0,54x - 2  
       
  g. 4x • ln4 + 52x • ln5 • 2  
       
  h.  
       
4. a. 52x = (52)x = 25x  
       
  b. afgeleide van 52x  is  5x • ln5 • 2
afgeleide van 25x = 25x • ln25
Dat moet gelijk zijn, dus  ln5 • 2 = ln25  		 
       
  c. gax   heeft als afgeleide  gax • lng • a
gax = (ga)x   dus de afgeleide is gelijk aan  (ga)x • lnga  =  gax • lnga
Dat moet gelijk zijn, dus  lng • a  =  ln(ga)     		 
       
5. De oppervlakte van de driehoek is  0,5 • OQ • OP
Stel dat de x-coφrdinaat van P gelijk is aan p
Dan is  OQ = p
Dan is  OP = 4 • 0,5p  immers dat is de y die bij x = p hoort.
Dan is de oppervlakte  O = 0,5 • p • 4 • 0,5p = 2p • 0,5p
Die is maximaal als de afgeleide ervan nul is:
O ' =  2 • 0,5p + 2p • 0,5p • ln0,5 = 0
0,5p • (2 + 2p • ln0,5) = 0
0,5p = 0  of   2 + 2p ln0,5 = 0
2pln0,5 = -2
p = -2/2ln0,5 = -1/ln0,5  = 1/ln2  = 1,44
dan is  y = 4 • 0,5p = 1,47 
       
6. a. Een rechte lijn door (6, 12)  en   (14, 350)
a = Δy/Δx = (350 - 12)/(14 - 6) = 42,25
punt invullen:  12 = 42,25 • 6 + b  geeft  b =  -241,5
De vergelijking is dan  L = 42,25t - 241,5		  
       
  b. Exponentiλle functie door  (6, 12)  en  (14,350)
De groeifactor is  350/12 = 29,17  en dat is  g8  dus  g = 29,171/8 = 1,524
punt invullen:  12 = B • 1,5246  ⇒  12 = B • 12,55  ή B = 0,956
De vergelijking is dan   L = 0,956 • 1,524t
       
  c. De groeisnelheden zijn de afgeleides, dus die moeten gelijk zijn;
42,25 = 0,956 • 1,524t • ln1,524
42,25 = 0,403 • 1,524t
104,9 = 1,524t
t = log(104,9)/log(1,524) = 11,0		  
       
7. a, De grafiek gaat bijv. door  (-2000, 1) en (0, 0.1)
0,1/1 = 0,1  in 2000 jaar dus de groeifactor per jaar is  0,11/2000 = 0,9988
De grafiek gaat door (0, 0.1) dus  B = 0,1
Dat geeft de formule  A = 0,1 • 0,9988t 		 
       
  b. Met het antwoord van vraag a:
400 = 0,1 • 0,9988t
4000 = 0,9988t
t = log(4000)/log(0,9988) = -6907 jaar

Met de gegeven formule na vraag a:
400 = 0,2 . (0,9995)t
2000 = 0,9995t
t = log(2000)/log(0,9995) = -15198 jaar

  
       
  c. Met het antwoord op vraag a:
Bij halveren moet gelden   0,9988t  = 0,5 ⇒  t = log(0,5)/log(0,9988) = 577 jaar

Met de gegeven formule na vraag a:
Bij halveren moet gelden  0,9995t = 0,5 ⇒  t = log(0,5)/log(0,9995) = 1386 jaar.		  
       
  d. Als de activiteit daalt met 0,02 millecurie per jaar moet de afgeleide gelijk zijn aan  -0,02

Met het antwoord op vraag a:
-0,02 = 0,1 • 0,9988t • ln(0,9988)
-0,02 = -0,00012 • 0,9988t
0,9988t =  266,57
t = log(166,57)/log(0,9988) = -4260

Met de gegeven formule na vraag a:
-0,02 = 0,2 • 0,9995t • ln(0,9995)
-0,02 = -0,000100025 • 0,9995t
0,9995t =  199,95
t = log(199,95)/log(0,9995) = -10593
       
8. Bij het maximum is de afgeleide nul.  Met de quotiλntregel:
 
  Een breuk is nul als de teller nul is:   2t • 2t - t2 • 2t • ln2 = 0
2t • t • (2 - tln2) = 0
2t = 0  ∨  t = 0  ∨  2 - tln2 = 0
de derde is de gezochte:   t = 2/ln2 = 2,89
dan is K = 2,127  dus dat zijn  2127 kakkerlakken
       
9. a. 500 = 1250 • 2-0,02t² -50
550 = 1250 • 2-0,02t²
0,44 = 2-0,02t²
-0,02t2 = log(0,44)/log(2) = -1,18
t2 = 59,22
t = 7,7 minuten  (of -7,7 maar dat stelt niets voor) 		 
       
  b. De snelheid van uitstromen is de afgeleide.
L '(t) = 1250 • 2-0,02t² • ln2 • -0,04t
L'(5) = 1250 • 2-0,02 • 25 • ln2 • -0,04 • 5  = -122,5 liter per minuut		  
       
  c. Dat is als L' maximaal is.
L' = -50ln2 • 2-0,02t² • t
L'' =  -50ln2 • (2-0,02t² • -0,04t • ln2 • t + 2-0,02t² • 1) = 0
delen door -50ln2 en dan 2-0,02t²  buiten haakjes zetten:
2-0,02t²• (-0,04ln2 • t2 + 1) = 0
-0,04ln2 • t2 + 1 = 0
t2 = 1/(0,04ln2) = 36,07
t = 6,0 minuten		  
       
10. a. De beginhoeveelheid was 40000 dus als de helft over is, is er nog 20000.
20000 = 40000 • 3-0,15t
3-0,15t = 0,5
-0,15t = log(0,5)/log(3) = -0,63
t = 4,2 uren		  
       
  b. De snelheid is de afgeleide:  H' (t) = 40000 • 3-0,15t • ln3 • -0,15
H '(3) = 40000 • 3-0,15 • 3 • ln3 • -0,15 = -4021 liter per uur en dat is  67 liter per minuut.
       
  c. hoeveelheid in zee = 40000 - hoeveelheid in schip  -   verwijderde hoeveelheid.
Z = 40000 - H - V
Z = 40000 - 40000 • 3-0,15t - 500(t - 5)

Die hoeveelheid is maximaal als de afgeleide ervan nul is;
Z' =  -40000 • 3-0,15t • ln3 • -0,15 - 500 = 0
500 = 6592 • 3-0,15t
0,0758 = 3-0,15t
-0,15t = log(0,0758)/log(3) = -2,35
t = 15,6
Dan is  Z = 40000 - 40000 • 3-0,15•15,6 - 500(15,6 - 5) = 31641 liter
       
11. a. Het aantal meisjes (M) heeft groeifactor 1,045 en beginwaarde  8000, dus  M(t) = 8000 • 1,045t 
Het aantal jongens (J) heeft hellinggetal -600 en beginwaarde 23000, dus  J(t) = 23000 - 600t
Y1 = 8000 * 1,045^X
Y2 = 23000 - 6500 * X
Intersect geeft  X = t = 13,83
Dat zal in het jaar 2017 zijn
       
  b. totaal aantal = T = J + M =  23000 - 600t +  8000 • 1,045t 
2007:  T(4) = 30140
2008:  T(5) = 29969
Dat daalt dus.
       
  c. De daling wordt omgebogen naar een stijging als de afgeleide nul is.
T ' = -600 + 8000 • 1,045t • ln(1,045) = 0
352,14 • 1,045t = 600
1,045t = 1,704
t = log(1,704)/log(1,045) = 12,1
Dat zal zijn in het jaar 2015 - 2016
       
12. a.
aantal advertenties (A) 456 725 827 989 1297 1392 1697
gemiddelde prijs (P) 41,6 29,0 25,3 20,4 13,5 11,9 7,9
 
    Als P van A afhangt, dan is P = y en A = x

van  41,6 naar 29,0 is factor 29,0/41,6 = 0,697 en dat is g(725 - 465) = g260  dus g = 0,6971/260 =  0,9986
van 29,0 naar 25,3 is factor 25.3/29,0 = 0,872 en dat is  g(827 - 725) = g102  dus  g = 0,8721/102 = 0,9987
van 25,3 naar 20,4 is factor 20,4/25,3 = 0,806  en dat is  g(989 - 827) = g162 dus  g = 0,8061/162 = 0,9987
van 20,4 naar 13,5 is factor 13,5/20,4 = 0,662 en dat is  g(1297 - 989) = g308  dus  g = 0,6621/308 = 0,9987
van 13,5 naar 11,9 is factor 11,9/13,5 = 0,881 en dat is g(1392 - 1297) = g95  dus  g = 0,8811/95 = 0,9987
van 11,9 naar 7,9 is factor 7,9/11,9 = 0,664  en dat is  g(1697 - 1392) = g305  dus  g = 0,6641/305 = 0,9987

Dat is allemaal ongeveer gelijk dus het verband is exponentieel.
       
  b. (700,30) en (1600,9)
van 30 naar 9 is factor 9/30 =  en dat is g(1600 - 700) = g900   dus  g = 0,31/900 = 0,9987
punt (700, 30) invullen:  30 = B • 0,9987700  ⇒  30 = B • 0,402  ⇒  B = 74,6
De formule is dan   P = 74,6 • 0,9987A
A = 600 geeft dan  P = 74,6 • 0,9987600 = 34,2 duizend euro 
       
  c. omzet = aantal advertenties  *  prijs per advertentie
O = A • 76 • 2-0,00193A 
O is maximaal als de afgeleide ervan nul is: (met de productregel)
O' = 1 • 76 • 2-0,00193A + A • 76 • 2-0,00193A • ln2 • -0,00193 = 0
2-0,00193A • 76 • (1 - A•ln2•0,00193) = 0
A • ln2 • 0,00193 = 1
A  = 748 advertenties.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)