h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Neem het vertrekpunt van de kogel als oorsprong.

g/(2v) = 0,00049
De parabool is dan   y = x tanα  -  x2 0,00049(tan2α + 1)

De parabool moet ook door (200, 0) gaan.
0  =  200tanα - 19,6(tan2α + 1)
Noem tanα = p
200p - 19,6p2 - 19,6 = 0
-19,6p2 + 200p - 19,6 = 0
ABC formule geeft dan p = 0,09896    p = 10,10512
p = 0,09896  geeft  tanα = 0,3145  en  α = 17,5
p = 10,10512 geeft  tanα = 3,1789  en  α = 72,5
       
2. v = 120  geeft  g/(2v) = 0,00034
α = 30 geeft tanα = 0,57735
De paraboolvergelijking wordt dan ( neem de oorsprong de plaats waar de kogel de loop verlaat)
y
= 0,57735x - 0,00034 x2 1,3333
y = 0,57735x - 0,000453x2

Het hellende vlak gaat door (0, -1)  en heeft een hoek van 10,
dat betekent dat het hellinggetal gelijk is aan tan10 = 0,17633
Dus dat vlak heeft vergelijking  y = 0,17633x - 1

Snijden met de paraboolbaan:
0,57735x - 0,000453x2  = 0,17633x - 1
0,000453x2 - 0,40102x - 1 = 0
De ABC formule geeft dan x = -2,48  of  x = 887,7
De tweede is de juiste oplossing: de kogel komt op horizontale afstand ongeveer 888 meter op de grond.
       
3. a. v = 230 km/uur is 63,89 m/s en dat  geeft  g/(2v) = 0,0012
 y = x tanα  -  x2 0,0012(tan2a + 1)
De parabool moet ook door (150, 0) gaan.
0  =  150tanα - 27,01(tan2α + 1)
Noem tanα = p
-
27,01p2 +150p - 27,01 = 0
De ABC-formule geeft dan  p = 0,1863  of p = 5,3672
p = 0,1863  geeft  tanα = 0,432  en  α = 23,3
p = 5,3672 geeft  tanα = 2,316 en α = 66,7
       
  b. α = 40  geeft  tanα = 0,839
De parabool wordt dan  y = 0,839x - 1,704g/(2v)x2
Die moet door (0, 150) gaan:
0,839 150 - 1,704
g/(2v) 1502 = 0
38341
g/(2v) = 125,85
g/(2v)= 0,00328
2v2 = 2985,71
v2 = 1292,85
v = 38,6 m/s  en dat is 139 km/uur
       
4. Kies als oorsprong het punt waar de bal wordt losgelaten.
α = 60 dus  tanα = 1,732  (√3)  en  tan2α + 1 = 4
De parabool is:  y = 1,732x +  ax2     (met   a = -g/2v 4 = -2g/v)

De parabool gaat door  (4.6, 3.05 - 2.15) = (4.6, 0.9)
Invullen":   0,9 = 1,732 4,6 + a 4,62
0,9 = 7,9672 + a 21,16
a 21,16 = -7,0672
a = -0,334

De top ligt bij  -1,732/2 -0,334 = 2,593
y = 
-0,334 2,5932 + 1,732 2,593 = 2,24
De hoogte van de oorsprong was  2,15 dus de hoogte van de top is 2,15 + 2,25 = 4,40 m

       
5. Kies als oorsprong het punt waar de bal het kanon verlaat.
v = 100 km/uur = 100/3,6 = 27,7778 m/s
y = x tanα + ax2
Het hoogste punt zit dan bij x-tanα/2en dat moet 2,5 meter zijn (samen met de beginhoogte precies 4m)
2,5 =   -tanα/2a tanα  + a( -tanα/2a)2 
2,5 = tan2α(-1/2a + 1/4a)
2,5 = tan2α  (-1/4a)

Maar a = -9,8/227,7778 (tan2α + 1) = -0,00635 (tan2α + 1)

invullen geeft  2,5 = tan2α 1/(0,0254(tanα + 1))
vermenigvuldig met 0,0254 (tan2α  + 1):    2,5 0,0254(tan2α + 1) = tan2α
0,0635 (tan2α + 1) = tan2α
0,0635 tan2α + 0,0635 = tan2α
0,0635 = 0,9365 tan2α
tan2α = 0,0678
tanα = 0,26
α = 14,6
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)