h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y =  -2x2 + 28x + 8
xT = -28/-4 = 7
yT = -2 72 + 28 7 + 8 = 106
de top is (7, 106)
 
       
  b. 5x2 + 60x - 125
xT = -60/10 = -6
yT = 5 (-6)2 + 60 -6 - 125 = -305
de top is (-6, -305)
 
       
  c. x2 - 12x + 4
x
T = 12/2 = 6
yT = 62 - 12 6 + 4 = -32
de top is (6, -32)
 
       
  d. y =  0,5x2 - 4x + 1
xT = 4/1 = 4
yT = 0,5 42 - 4 4 + 1 = -7
de top is (4, -7)
 
       
2.  y =  2x2 + px + q
xT-p/4 = -3  dus  p = 12
y =
2x2 + 12x + q
top invullen:  20 = 2 (-3)2 + 12 -3 + q
20 = 18 - 36 + q
q
= 38 
       
3. y = -2x2 + ax + 1
De top is xT = -a/-4 = 0,25a 
yT = -2(0,25a)2 + a 0,25a + 1 = 9
-0,125a2 + 0,25a2 = 8
0,125a2 = 8
a2 = 64
a = 8 ∨  a = -8
       
4. y = 3x2 + px - 6
xT = -p/6 = -1/6p
y
T = 3(-1/6p)2 + p -1/6p - 6
yT = 3 1/36p2  -1/6p2 - 6
yT = -1/12p2 - 6

yT = xT - 8  geeft dan   -1/12p2 - 6 = -1/6p- 8
0 = 1/12p2 -1/6p - 2
vermenigvuldig met 12:    p2 - 2p + 24 = 0
(p - 6)(p + 4) = 0
p = 6 ∨  p = -4

p = 6  geeft  xT = -1  en yT = -9 dus de top is dan  (-1, -9)
p = -4 geeft  xT = 2/3  en yT = -71/3  dus de top is dan  (2/3 , -71/3)
       
5.  y = ax2 + x + a
x
T-1/2a 
yT = a (-1/2a)2  - 1/2a  + a = 0
a 1/4a2  - 1/2a  + a = 0
1/4a - 1/2a  + a = 0
-1/4a  + a = 0   vermenigvuldig nu alles met 4a
-
1 + 4a2 = 0
4a2 = 1
a2 = 1/4
a1/2

a = 1/2 geeft  xT = -1  en  de top  (-1, 0)
a = -1/2 geeft  xT = 1  en  de top  (1, 0)
       
6. y = px2 + 2x + 2q 
xT = -2/2p = -1/p
y
T = p (-1/p)2 + 2 -1/p + 2q
yT 1/p - 2/p + 2q  =  -1/p + 2q    dus de top is  (-1/p , -1/p + 2q)

y = 8x2 + px + q
x
T = -p/16 = -1/16p
yT = 8(-1/16p )2 + p -1/16p  + q
y
T = 1/32p2 - 1/16p + q  =  -1/32p2 + dus de top is  (-1/16p , -1/32p2 + q)

Als die toppen gelijk zijn, dan moet gelden:  -1/-1/16p      en     -1/p + 2q = -1/32p2 + q

Uit de eerste vergelijking volgt  (vermenigvuldig alles met -16p):   16 = p2   dus p = p = -4

De tweede vergelijking geeft dan:
Voor p = 4:  -1/4 + 2q = -1/2 + q       q =  -1/4
Voor p = -4:   1/4 + 2q = -1/2 + q       q =  -3/4    
       
7. a. x = p snijden met y = 2x- 1  geeft  y = 2p - 1  en snijpunt (p, 2p - 1)
y = 2p - 1 snijden met y = 4 - x   geeft  2p - 1 = 4 - x  ⇒   x =  5 - 2p  en snijpunt  (5 - 2p,  2p - 1)

De breedte van de rechthoek is dan  (5 - 2p) - p =  5 - 3p  en de breedte is  2p - 1
De oppervlakte is (5 - 3p)(2p - 1) = 10p - 5 - 6p2 + 3p =  -6p2 + 13p - 5
       
  b. -6p2 + 13p - 5 is een bergparabool met top  xT = -13/-12 = 13/12
maximum is yT = -6(13/12)2 + 13 13/12  - 5 =  49/24  (2,041666..)
       
8. a. Bij x = p hoort y = 4 - 1,5p en dat is de hoogte van de rechthoek.
De oppervlakte is dan p (4 - 1,5p) = 4p - 0,5p2
       
  b. De top van de parabool is  xT = -4/-1 = 4
Dan is y = 4 4 - 0,5 42 = 16 - 8 = 8
       
  c. 4p - 1,5p2  = 2,66
-1,5p2 + 4p - 2,66 = 0

ABC formules geeft dan
D = 42  - 4-1,5 -2,66 = 0,04
Dan is  p = (-4 0,2)/-3
p
= 1,4  ∨  p =  19/15
 
       
9. a. y = -4x2 + px + 1
xT = -p/-8
p
= 8xT 
y = -4x2 + 8x x + 1
y
= 4x2 + 1
       
  b. y = 2x2 - px + p
x = p/4
p = 4x
y = 2x2 - 2x x + 4x
y = -2x2 + 4x
       
  c. y = px2 + 2x - 3
x = -2/2p
p
= -1/x
y = -1/x x2 + 2x - 3 = x + 2x - 3 = x -3  dus het is de lijn y = x - 3
       
  d. y = px2 - 4x + p2
xT = 4/2p = 2/p
p =
2/x
y =
2/x x2 - 4x + (2/x)2
y
= 2x - 4x + 4/x2
y = 4/x2 - 2x
       
10. a.  y = x2  + bx - 6
xT = -b/2 =  -5  dus  b = 10
yT = (-5)2 + 10 -5 - 6 = 25 - 50 - 6 = -31
       
  b. -6 kun je met gehele getallen alleen schrijven als  -6 1  of  -3 2  of  6 -1  of  3 -2

Dat geeft de parabolen:
y
= (x - 6)(x + 1)
y = (x - 3)(x + 2)
y =
(x + 6)(x - 1)
y = (x + 3)(x - 2)
       
  c. y = x2  + bx - 6
xT = -b/2  geeft  b = -2xT 
y = x2 - 2x x - 6
y = -x2 - 6
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)