h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Omdat bij een vaste prijsverhoging een vast aantal minder verkocht zal worden, zal dit een lineaire functie zijn.
Bij q = 200 hoort p = 40
Bij q = 190 hoort p = 45
Dan is a = (190 - 200)/(45 - 40) = -10/5  - 2   dus  q = -2p + b
(40, 200) invullen:  200 = -2 40 + b  geeft  b = 280
Dus q =  -2p + 280 
       
  b. R = p q = p (-2p + 280) = -2p2 + 280p
Dat is een parabool met de top bij  p = -280/-4 = 70
De omzet is dan  -2 702 + 280 70 = 9800
 
       
  c. De kosten zijn  K = 200 + 15q
met q = -2p + 280 geeft dat  K = 200 + 15(-2p + 280) =  200 - 30p + 4200 = 4400 - 30p

Winst - Opbrengst - Kosten
W = R - K
W = (-2p2 + 280p) - (4400 - 30p)
W = -2p2 + 280p - 4400 + 30p
W = -2p2 + 310p - 4400

Is een bergparabool met de top bij  p = -310/-4 = 77,50
Dan is W =  -277,502 + 310 77,50 - 4400 = 7612,50
       
2. 4 - x2 = 0  ⇒  x2 = 4   ⇒  x = 2 ∨  x = -2
A = (-2, 0) en B = (2,0)
De verschoven parabool gaat door (2,0) en heeft dezelfde vorm als de oorspronkelijke.
de vergelijking is dan van de vorm:    y = -x2 + bx + c
(2, 0) invullen:   0 = -4 + 2b + c  dus  c = 4 - 2b  en de vergelijking wordt y = -x2 + bx +  4 - 2b

De top ligt bij xT = -b/-2 = 0,5b
Dan is yT =  -(0,5b)2 + 0,5b b + 4 - 2b 
yT =  -0,25b2 + 0,5b2 + 4 - 2b
yT =  0,25b2 - 2b + 4

Er moet gelden yT = xT + 4:
0,25b2 - 2b + 4 = 0,5b + 4
0,25b2 - 2,5b = 0
0,25b(b - 10) = 0
b = 0  ∨   b = 10  waarvan b  = 10 gezien de figuur de juiste oplossing is.
dan is   xT = 5  en yT = 9  dus de top is  (5, 9)
       
3. a. De totale opbrengst is A T
A wordt  0,972A
T wordt  1,06T
Dan wordt  A T gelijk aan  0,972A 1,06T = 1,03032 AT
De dagopbrengst neemt 3,032% toe
       
  b. vervang T door 1,06T:
Anieuw = 400 (1,06T)2 - 9150 1,06T + 46800
Dat moet gelijk zijn aan  0,972 A
Dus  0,972 (400T2 - 9150T + 46800) = 400 (1,06T)2 - 9150 1,06T + 46800
388,8T2 - 8893,8T + 45489,9 = 449,44T2 - 9699T + 46800
0 = 60,64T2 - 805,2T + 1310,1
ABC-formule geeft  T = 11,37  ∨  T = 1,90
Omdat T < 7  moet dus gelden T = 1,90
       
4. Als AB = x dan is ook AD = x  (vierkant)
Dan is EH = x - 1
Oppervlakte vierkant is x2
Oppervlakte rechthoek:  EH EF = (x - 1) (x + 2)

(x - 1) (x + 2) = x2
x2 - x + 2x - 2 = x2
x
= 2
De rechthoek is 1 bij 4
       
5. a. Bij p = 7,50 hoort A = 1000
Bij p = 7,00 hoort A = 1050
Dan is de helling  a = (1050 - 1000)/(7 - 7,50) = -100  dus  A = -100p + b
1000 = -100 7,50 + b geeft dan  b =  1750
De formule wordt  A = -100p + 1750   
       
  b. De opbrengst is  A p  = (-100p + 1750) p = -100p2 + 1750p
Dat is een bergparabool met de top bij  pT = -1750/-200 = 8,75
Dan is de opbrengst  -100 8,752 + 1750 8,75 = 7656,25  
       
6. a. Lijn door  (13, 3500) en  (-5, 3375)
a = Δy/Δx = (3375 - 3500)/(-5 - 13) = 125/18 = 6,944
3500 = 125/18 13 + b  geeft dan b = 3409,72
Dus  y = 6,94t + 3410
       
  b. T = G H = (1280 + 6,5t ) ( 6,92 + 0,05t )
T = 8857,6 + 64t + 44,98t + 0,325t2
T = 8857,6 + 108,98t + 0,325t2
       
  c. Met de gegeven formule:
0,325t2 + 110t + 8860 = 15000  (15 miljard is 15000 miljoen)
0,325t2 + 110t - 6140 = 0
ABC-formule:  t = (-110 √20082)/0,65 = (-110 141,71)/0,65 = 48,8  of  -387,25
De gezochte oplossing zal zijn  t = 48,8 jaar
Dat is in het jaar 2048.
       
7. a. c = 1  want al je x = 0 en y = 1 invult dan staat er 1 = a 02 + b 0 + c
a
is negatief want de baan is een bergparabool:  de kogel wordt in praktijk omhooggeschoten.
omdat de top rechts van de y-as ligt moet -b/2a positief zijn, en omdat a negatief is, moet b dus wel positief zijn.
       
  b. top  (400, 80) geeft vergelijking  h = a(x - 400)2 + 80
punt (0, 1) invullen:  1 = a (-400)2 + 80  en dat geeft  a =  -0,00049375
-0,00049375(x - 400)2 + 80 = 0
-0,00049735(x - 400)2 = -80
(x - 400)2 = 162025,3165
x - 400 = 402,52  ∨  x - 400 = -402,25
x = 802,25  ∨  x = -2,25
De gezocht oplossing is  x = 820,25 meter
       
  c. lijn door (100, 0) en (600, 8)
a = (8 - 0)/(600 - 100) = 0,016
h = 0,016x + b  met  (100, 0)  geeft  0 = 0,016 100 + b  dus b = -1,6
Dus h = 0,016x - 1,6

Snijden met de parabool:
 -0,00015x2 + 0,08x + 1  = 0,016x - 1,6
-0,00015x2 + 0,064x + 2,6 = 0
ABC:   x = (-0,064
√0,005656)/-0.00030 =  -37,35  ∨  464,02
Bij x = 464,02 is de hoogte van de kogel 5,82 meter
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)