© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Loodrecht op y = 2x + 4 betekent a • 2 = -1  dus  a = -0,5
(2, 6) invullen:  6 = -0,5 • 2 + b  geeft  b = 7
Het is de lijn y = -0,5x + 7
       
  b. Loodrecht op y = -5x + 2 betekent a • -5 = -1  dus  a = 0,2
(-4, -2) invullen:  -2 = 0,2 • -4 + b  geeft  b = -1,2
Het is de lijn y = 0,2x - 1,2
       
  c. Loodrecht op y = -0,5x + 4  betekent a • -0,5 = -1  dus  a = 2
(2, 2) invullen:  2 = 2 • 2 + b  geeft  b = -2
Het is de lijn y = 2x - 2		  
       
2. een lijn door (2, 8) en (-3, 6) heeft hellinggetal  (6 - 8)/(-3 - 2) = -2/-5 = 0,4
een lijn door (1, 6) en (3, 1) heeft hellinggetal (1 - 6)/(3 - 1) = -5/2 = -2,5
0,4 • -2,5 = -1 dus de lijnen staan WEL loodrecht op elkaar.
       
3. Lijn l gaat door (-4, 6) en (-2, p)  dus heeft hellinggetal  (p - 6)/(-2 - - 4) = (p - 6)/2 = 0,5p - 3
Lijn m gaat door (p , 3)  en  (8, 1) dus heeft hellinggetal  (1 - 3)/(8 - p) = -2/(8 - p)

Dat moet vermenigvuldigd -1 opleveren:  (0,5p - 3) • -2/(8 - p) = -1
Vermenigvuldig met (8 - p):  
-2(0,5p - 3) = -(8 - p)
-p + 6 = -8 + p
14 = 2p
p = 7  
       
4. De straal is 5, dus  A = (-5,0) en B = (5, 0)
De helling van AC is dan  (4 - 0)/(3 - - 5) = 4/8 = 0,5
De helling van BC is dan  (4 - 0)/(3 - 5) = 4/-2 = -2

-2 • 0,5 = -1  dus staan  AC en BC loodrecht op elkaar.
       
5. a. De afstand van  (7, 16) tot M(2, 4) kun je met Pyythagoras berekenen:  √(52 + 122 ) = √169 = 13
Dat is precies de straal van de cirkel dus ligt (7, 16) op de cirkel.
       
  b. De lijn van (7, 16) naar (2, 4) heeft hellinggetal   (16 - 4)/(7 - 2) = 12/5
De raaklijn staat daar loodrecht op dus voor de helling daarvan geldt  a • 12/5 = -1
De raaklijn heeft helling a = -5/12 en is dus de lijn y = -5/12x + b
punt (7, 16) moet daar op liggen:  16 = -5/12 • 7 + b geeft  b = 227/12
De raaklijn is de lijn y = -5/12x + 227/12.
       
6. a. 1/2x3 - 4x = 0
x(1/2x2 - 4) = 0
x = 0  ∨  1/2x2 - 4 = 0
x = 0  ∨  x2 = 8
x = 0  ∨  x = √8  ∨  x = -√8
De afstand MN  is  dan  2√8
       
  b. f '(x) = 1,5x2 - 4  dus  f '(-2) = 2
lijn k gaat door (-2, 4) en heeft helling 2
4 = 2 • -2 + b  geeft  b = 8 dus k is de lijn  y = 2x + 8

leg een lijn door O  loodrecht op k.
Die heeft helling  -0,5, dus het is de lijn  y = -0,5x

Snijden met k:   -0,5x = 2x + 8
2,5x = -8
x = -16/5
Dan is  y = -0,5 • -16/5 = 8/5  dus het snijpunt is  S = (-16/5,8/5)

OS is dan √((16/5)2 + (8/5)2) = √(320/25) en dat is de afstand van O tot k

De afstand tussen de lijnen is dan 2 • √(320/25) ≈ 7,16
       
7. P = (2, 3) en D = (4, -8)
Dus PD heeft rc  (-8 - 3)/(4 - 2) = -11/2
PG is de lijn  y = -11/2 x + b
3 = -11/2 • 2 + b  geeft  b = 14  dus  PD:  y = -11/2 • x + 14

CQ staat loodrecht op PD dus heet r.c. 2/11
CQ is de lijn  y = 2/11x + b
-4 = 2/11 • -4 + b  geeft  b = -36/11

Q is het snijpunt :  -11/2x + 14 = 2/11x - 36/11
125/22x  = 190/11
x = 3,04
Dan is y =  2/11 • 3,04 - 36/11 = -2.72 
Q = (3.04,  -2.72)
       
8. E(12, 6√3)  en A = (42,0)  dus AE heeft r.c.  (0 - 6√3)/(42 - 12) = -0,2√3
E(12, 6√3)  en B = (21, 21√3) dus BE heeft r.c.  (6√3 - 21√3)/(12 - 21) = -15√3/-9 = 5/3√3
vermenigvuldig de r.c. met elkaar:  5/3√3 • -0,2√3 = -1
Dus dat staat loodrecht op elkaar.
       
9.       A = (0, a) en  B = (1, 0)
Het midden van AB is  M = (0.5, 0.5a)
AB  heeft r.c. -a/1 = -a
De middelloodlijn staat daar loodrecht op dus heet r.c. 1/a
De middelloodlijn is de lijn  y = 1/a • x + b  en gaat door  (0.5, 0.5a)
Dat geeft  0.5a = 1/a • 0.5 + b  dus  b = 0,5a - 0.5/a

D is het punt  (-1, 0)
Als dat op de middelloodlijn ligt dan moet gelden:  0 = 1/a • -1 + 0.5a - 0,5/a
Vermenigvuldig alles met a:   0 = -1 + 0,5a2 - 0,5
0,5a2 = 1,5
a2 = 3
a = √3 
       
10. M = (1,0)
D = (0, 2)
P = (p, p)

DP heeft rc  (p - 2)/p 
MP  heeft rc  p/(p - 1)  
Als die loodrecht op elkaar staan zijn de rc met elkaar vermenigvuldigd gelijk aan -1.
(p - 2)/p • p/(p - 1) = -1
p - 2 = -1(p - 1)
p - 2 = -p + 1
2p = 3
p = 1,5
P = (1.5, 1.5)
AP = √(1.52 + 1.52) = √4,5
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)