Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

p verandert de afstand van de grafiek tot de x-as

a verandert de plaats van de top van de parabool.
Als a negatief groter wordt gaat de top omlaag en naar rechts
Als a positief groter wordt gaat de top omlaag en naar links

De rode grafiek gaat bijvoorbeeld door (1,1)
invullen: 1 = 3 - ^p/₁2 ⇒ 1 = 3 - p ⇒ p = 2

Invullen: 2 = 3 - ^p/₄2 ⇒ 2 = 3 - ^p/₁₆ ⇒ ^p/₁₆ = 1 ⇒ p = 16

3 - ^p/_x2 = 0
^p/_x2 = 3
x² = ^p/₃
Dat heeft oplossingen als ^p/₃ groter of gelijk aan nul is, dus als p groter of gelijk aan nul is.
Maar p = 0 geeft x = 0 en dat kan niet (je mag niet door nul delen)
Dus voor p > 0 zijn er snijpunten met de x-as.

De rode grafiek gaat door (1, 0.5)
Invullen: (³/₄1² - ¹/₄1³)^p = 0,5 ⇒ 0,5^p = 0,5 ⇒ p = 1

x = 0 geeft y = (³/₄0² - ¹/₄0³)^p = 0^p= 0 voor elke p
x = 2 geeft y = (³/₄2² - ¹/₄2³)^p = (3 - 2)^p = 1^p = 1 voor elke p
x = 3 geeft y = (³/₄3² - ¹/₄3³)^p = (²⁷/₄ - ²⁷/₄)^p = 0^p= 0 voor elke p

De grafiek gaat (ongeveer) door bijv. het punt (2, 27)
invullen: 27 = 4p·2 + ^p/_{(2
- 1)} ⇒ 27 = 8p + p = 9p Þ p = 3

Een verticale asymptoot vind je als er door nul wordt gedeeld.
Dat is zo bij x = 1 bij alle grafieken, want die noemer x- 1 hangt niet van p af.

Het lijkt het punt (¹/₂, 0) te zijn.
Probeer daarom x = ¹/₂
Dat geeft y = 4p · 0,5 + ^p/_{(0,5
- 1)} = 2p + ^p/_-0,5 = 2p - 2p = 0
Het is inderdaad nul voor iedere p. Dus gaat de grafiek voor iedere p door (¹/₂, 0)

De rode grafieken zijn afnemend dalend. Ze dalen bij lage d sneller, en bij hogere d steeds langzamer. Dat betekent dat bij hogere d de kosten niet meer veel dalen, dus een erg dikke isolatielaag heeft niet veel meer effect dan een gewoon dikke laag..

Dat is als d = 0, dus dat zijn de kosten zonder enige isolatie.

De rode grafiek waar geen n bij staat gaat door bijv. (3.5, 3)
Invullen in de formule: 3 = ⁴ⁿ/_{(2
· 3.5
+ 1)} ⇒ 3 = ⁴ⁿ/₈ ⇒ 3 = 0,5n ⇒ n = 6

T(n) = 2 + 0,8d + ⁴ⁿ/_{(2d
+ 1)}
De grafieken staan hiernaast.

Dat is het minimum van de blauwe grafiek hiernaast, en dat ligt bij ongeveer (2.7, 6.7)
Dus 2,7 cm dikte is het voordeligst over 4 jaar.

Punten aflezen:
(3,8) geeft 8 = 2 · 3 + ^p/_{(2 ·
3 - 4)} ⇒ 8 = 6 +^p/₂ ⇒ 8 = 6 + 0,5p ⇒ 0,5p = 2 ⇒ p = 4
(2.5, 6) geeft 6 = 2 · 2.5 + ^p/_{(2 ·
2.5 - 4)} ⇒ 6 = 5 +^p/₁ ⇒ 6 = 5 + p ⇒ p = 1
(3, 2) geeft 2 = 2 · 3 + ^p/_{(2 ·
3 - 4)} ⇒ 2 = 6 +^p/₂ ⇒ 2 = 6 + 0,5p ⇒ 0,5p = -4 ⇒ p = -8

De verticale asymptoot vind je bij delen door nul.
De enige noemer in de functie is 2x - 4 en dat is nul als x = 2 onafhankelijk van p
Daarom zullen alle grafieken bij x = 2 een verticale asymptoot hebben.

Als x heel groot wordt, dan wordt dat stuk ^p/_{(2x
- 4)} heel klein.
Dat betekent dat dat stuk op den duur te verwaarlozen is ten opzichte van die 2x uit de formule.
De grafiek zal er daarom ongeveer uit gaan zien als y = 2x en dat is een rechte lijn.

Lees een punt van de grafiek af, bijvoorbeeld (3, 2)
Invullen in de gegeven formule geeft 2 = ^{(4 - 3 • p)}/_{(3
- 4)}
2 = ^{(4 - 3 • p)}/_-1
-2 = 4 - 3p
3p = 6
p = 2

Als je er een paar plot, dan lijken ze allemaal door het punt (0, -1) te gaan.
Het bewijs daarvan:
Neem x = 0.
Dan is y = ^{(4 - 2• 0)}/_{(0 - 4)} = ⁴/_-4 = -1 dus daar komt inderdaad altijd (voor elke p) y = -1 uit.

Ook zonder te plotten kun je dat beredeneren:
Als de functies voor elke p door een punt gaan, dan moet je een x zoeken zodat de waarde van p in de formule er niet toe doet.
p moet dus wegvallen.
Dat kan als je x = 0 kiest, want dan staat er 0 • p en dat is onafhankelijk van p

300 000 is 112% dus 100% is 300000 • ¹⁰⁰/₁₁₂ = 267 857,14

220000 bij 5% ligt ongeveer op de lijn van inkomen 40000.
Een inkomen van 50000 zal dus zeker genoeg zijn.