© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De basisgrafiek was y = x2

Translatie 1 naar links geeft  y = (x + 1)2
Translatie 2 omlaag geeft y = (x + 1)2 - 2

De volgorde mag ook andersom.

  b. De basisgrafiek was y = 1/x

Vermenigvuldigen met factor 2 tov de x-as geeft  y = 2/x
Spiegelen in de x-as geeft  y = -2/x
Translatie 3 omhoog geeft y = 3 - 2/x

De translatie moet als laatste

  c. De basisgrafiek was y = x3

Vermenigvuldiging tov de y-as met factor 0,5 geeft  y = (2x)3
 Spiegelen in de x-as geeft  y =  -(2x)3
Translatie 4 omhoog geeft  y = 4 - (2x)3

De translatie moet na de spiegeling.



 

  d. De basisgrafiek was y = √x

Translatie 4 naar rechts geeft  y = √(x - 4)
Vermenigvuldigen tov de y-as met factor 0,5 geeft 
y = √(2x - 4)

Dat moet in deze volgorde.

(het kan ook door éérst vermenigvuldiging tov y-as met factor 0,5 en daarna translatie 2 naar rechts)

  e. De basisgrafiek was y = √x

Translatie 3 naar links geeft  y = √(x + 3)
Spiegelen in de x-as geeft y = -√(x + 3)
Translatie 5 omhoog geeft  y = 5 - Ö(x + 3)

De translatie moet na de spiegeling.

 

  f. De basisgrafiek was y = x2 

Translatie 6 naar links geeft   y = (x + 6)2 
Vermenigvuldiging tov de y-as met factor 0,5 geeft 
y = (2x + 6)2 

dat moet in deze volgorde.

(het kan ook door eerst een vermenigvuldiging met factor 0,5 tov de y-as en daarna translatie 3 naar links)

  g. De basisgrafiek was y = 1/x

Translatie 2 naar links geeft  y = 1/(x + 2)
Translatie 4 omhoog geeft  y = 4 + 1/(x + 2)

Het mag ook wel in de andere volgorde.

  h. De basisgrafiek was y = x2

Translatie 4 naar links geeft  y = (4 + x)2
Spiegelen in de y-as geeft  y = (4 - x)2
Vermenigvuldiging tov de x-as met factor 2 geeft
y = 2(4 - x)2
Translatie 1 omhoog geeft  y = 1 + 2(4 - x)2 

de translatie naar links moet voor de spiegeling.
de translatie omhoog moet na de vermenigvuldiging.

       
2. a. De basisgrafiek was  y = x2
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was.
Dan is de formule  y = ax2  
Aan de plaats van de top zie je dat de grafiek 1 naar links is verplaatst:   y = a(x + 1)2
Aan de plaats van de top zie je ook dat de grafiek 3 omlaag is verplaatst:  y = a(x + 1)2 - 3
De grafiek gaat door bijv. (0, -1)
invullen:  -1 = a(0 + 1)2 - 3  ⇒  -1 = a - 3 ⇒  a = 2
De formule wordt dan   y = 2(x + 1)2 - 3
       
  b. De basisgrafiek was y = √x
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was.
Dan is de formule  y = a√x
Aan de plaats van het randpunt is te zien dat de grafiek 3 naar links is verplaatst:  y = a√(x + 3)
Aan de plaats van het randpunt is te zien dat de grafiek 2 omlaag is verplaatst:  y = a√(x + 3) - 2
De grafiek gaat door bijv.  (1, 0)
invullen:  0 = a√(1 + 3) - 2  ⇒  0 = 2a - 2 ⇒   a = 1
De formule wordt dan   y = √(x + 3) - 2
       
  c. De basisgrafiek was y = 1/x
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was.
Dan is de formule  y = a/x
Aan de verticale asymptoot kun je zien dat de grafiek 2 naar rechts is verschoven:  y = a/(x - 2)
Aan de horizontale asymptoot kun je zien dat de grafiek  3 omhoog is geschoven:  y = 3 + a/(x - 2)
De grafiek gaat door bijv.  (3, 3.5)
Invullen:  3,5 = 3 + a/(3 - 2)  ⇒  3,5 = 3 + a  ⇒   a = 0,5
De formule wordt dan   y = 0,5/(x- 2) + 3  ofwel  y = 1/2(x - 2) + 3
       
3. a. y = 1/x
2 naar rechts:  y = 1/(x - 2)
spiegelen in de x-as:  y = -1/(x - 2)
afstand tot de y-as halveren:  y = -1/(2x - 2)
       
  b. y = x2
spiegelen in de x-as:  y = -x2
3 omhoog schuiven:  y = -x2 + 3
afstand tot de y-as 3 keer zo groot:  y = -(1/3x)2 + 3  = -1/9x2 + 3
       
  c. y = √x
2 omlaag:  y = √x - 2
3 naar rechts:  y = √(x - 3) - 2
afstand tot de x-as verdubbelen:  y = 2 • (√(x - 3) - 2) = 2√(x - 3) - 4
       
4. a. y = 3x  
4 naar links:  y = 3x + 2 = 3x • 32 = 9 • 3x
afstand x-as 9 keer:  y = 9 • 3x
dat is inderdaad hetzelfde.
       
  b. tov de de x-as met factor 8 geeft  y = 8 • x3
tov de y-as met factor a geeft  y = (x/a)3  = x³/a³
Dat is hetzelfde als  8 = 1/a³ ⇒  a3 = 1/8  ⇒  a = 1/2
       
5. A en B:  maakt WEL uit. Als je eerst opzij schuift en dan verdubbelt, dan wordt die verschuiving ook verdubbeld
A en C:  maakt NIET uit:  opzij schuiven en omhoog/omlaag schuiven beïnvloeden elkaar niet.
A en D:  maakt NIET uit  horizontale beweging en verticale beweging (spiegelen) beïnvloeden elkaar niet.
B en C:  maakt NIET uit  horizontale beweging en verticale beweging (spiegelen) beïnvloeden elkaar niet.
B en D:  maakt NIET uit  horizontale beweging en verticale beweging (spiegelen) beïnvloeden elkaar niet.
C en D:  maakt WEL uit. als je eerst omlaag schuift en dan spiegelt, dan wordt dat omlaag geschoven deel ook gespiegeld.
       
6. a. De basisgrafiek was  y = x2
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was. Dan is de formule  y = ax2  
Aan de plaats van de top zie je dat de grafiek 3 naar rechts is verplaatst:   y = a(x - 3)2
Aan de plaats van de top zie je ook dat de grafiek 4 omlaag is verplaatst:  y = a(x - 3)2 - 4
De grafiek gaat door bijv. (2, -2)
invullen:  -2 = a(2 - 3)2 - 4  ⇒  -2 = a - 4 ⇒  a = 2
De formule wordt dan   y = 2(x - 3)2 - 4
       
  b. De basisgrafiek was y = 1/x
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was. Dan is de formule  y = a/x
Aan de verticale asymptoot kun je zien dat de grafiek 2 naar links is verschoven:  y = a/(x + 2)
Aan de horizontale asymptoot kun je zien dat de grafiek 1 omlaag is geschoven:  y =  a/(x + 2) - 1
De grafiek gaat door bijv.  (-1, 2)
Invullen:  2 =  a/(-1 + 2) - 1 ⇒  2 = a - 1  ⇒   a = 3
De formule wordt dan   y = 3/(x+ 2) - 1 
       
  c. De basisgrafiek was y = √x
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was. Dan is de formule  y = a√x
Aan de grafiek is te zien dat die gespiegeld is in de x-as:  y = -a√x
Aan de plaats van het randpunt is te zien dat de grafiek 3 naar rechts is verplaatst:  y = -a√(x - 3)
Aan de plaats van het randpunt is te zien dat de grafiek 4 omhoog is verplaatst:  y = -a√(x - 3) + 4
De grafiek gaat door bijv.  (7, 0)
invullen:  0 = -a√(7 - 3) + 4  ⇒  0 = -2a + 4 ⇒   a = 2
De formule wordt dan   y = -2√(x - 3) + 4
       
  d. De basisgrafiek was y = x3
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was. Dan is de formule  y = ax3
Aan de vorm van de grafiek zie je dat die is gespiegeld in de x-as:  y = -ax3
Aan het buigpunt (waar de grafiek horizontaal loopt) is te zien dat de grafiek 2 naar rechts is verplaatst: 
y = -a(x - 2)3
Aan het buigpunt is te zien dat de grafiek 4 omhoog is verplaatst:   y = -a(x - 2)3 + 4
De grafiek gaat bijv. door (1, 5)
invullen:  5 = -a(1 - 2)3 + 4  ⇒  5 = a + 4   ⇒  a = 1
De formule wordt dan  y = -(x - 2)3 + 4
       
  e. De basisgrafiek was  y = x2
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was. Dan is de formule  y = ax2  
Aan de vorm zie je dat hij is gespiegeld in de x-as:  y = -ax2
Aan de plaats van de top zie je dat de grafiek 1 naar rechts is verplaatst:   y = -a(x - 1)2
Aan de plaats van de top zie je ook dat de grafiek 3 omhoog is verplaatst:  y = -a(x - 1)2 + 3
De grafiek gaat door bijv. (3, 1)
invullen:  1 = -a(3 - 1)2 + 3  ⇒  1 = -4a + 3 ⇒  a = 1/2
De formule wordt dan   y = -1/2(x - 1)2 + 3
       
  f. De basisgrafiek was y = 1/x
Misschien is die steiler geworden, dat is voorlopig niet te zien. Laten we stellen dat er een vermenigvuldiging met factor a tov de x-as was. Dan is de formule  y = a/x
Aan de vorm is te zien dat hij is gespiegeld in de x-as:  y = -a/x
Aan de verticale asymptoot kun je zien dat de grafiek 1 naar rechts is verschoven:  y = -a/(x - 1)
Aan de horizontale asymptoot kun je zien dat de grafiek 3 omhoog is geschoven:  y =  -a/(x - 1) + 3
De grafiek gaat door bijv.  (-1, 5)
Invullen:  5 =  -a/(-1 - 1) + 3 ⇒  5 = 1/2a + 3  ⇒   a = 1
De formule wordt dan   y = 1/(x - 1) + 3 
       
7. a. Dat is het snijpunt van beide grafieken:     2 + √(4 - 2x) =  2 - √(2x - 4)
√(4 - 2x) =  -√(2x - 4)
Wortels zijn nooit negatief, dus dat kan alleen als die wortels beiden nul zijn
Dat geeft x = 2 en daarna y = 2 dus Q = (2, 2) en de hoogte is 2.
       
  b. begin met √x
schuif hem 4 naar rechts:  √(x - 4)
vermenigvuldig tov y-as met factor 0,5:   √(2x - 4)
spiegel in de x-as  -√(2x - 4)
schuif hem 2 omhoog:  2 - √(2x - 4)
       
  c. Schuif PQ 2 naar links en 2 omlaag, dan komt het punt Q in de oorsprong.
   (De formule is dan  y = √(-2x)
Spiegel nu in de x-as en in de y-as
   (de formule is dan  y = -√(2x))
Schuif nu weer 2 naar rechts en 2 omhoog, dan komt punt Q weer op zijn "oude plaats".
   (de formule is dan die van QR)
       
8. a. De grafiek van y = 3x  is 1 naar rechts en 2 omlaag geschoven.

De asymptoot wordt dan  y = -2

zie de figuur hiernaast.
     
  b. 3x  verschuiving 6 omlaag geeft  3x - 6
3x - 6 vermenigvuldiging met 1/3 tov x-as  geeft   1/3(3x - 6)
1/3(3x - 6) = 1/3 • 3x  -  2  =  3-1 • 3x - 2 = 3-1+x - 2  en dat is inderdaad f.
     
  c. y = 3x  vermenigvuldigen met factor a tov y-as  geeft  y = 3x/a 
(-20, 81) ligt daarop dus  81 = 3-20/a 
-20/a = 4
a = -5
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)